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1、数值积分矩形公式的复化及误差分析张晓霞(西北师范大学数学与信息科学学院甘潇兰州730070)摘要：先推导得出屮矩形公式、左矩形公式,然后对其进行复化，但由于结果不理想，再对两个公式进行递推，求出它们的递推化公式以及对其课差进行分析，最后举例说明儿种逼近公式误差的变化情况；关键词:中矩形公式，左矩形公式，谋差分析，复化公式，公式递推化1引言以前我们在进行积分运算时，都是先对被积函数求出其原函数，然后代值进行计算，但不是每个被积函数都是能轻易找到其原函数的,有的其至找不到它的原函数，这就要求我们找出另外一种方法来研究积分运算.首先我们來定义即将用到的左矩形公式和中矩形公式：对于积分/=『/(兀)
2、必，由积分中值定理知曰一点(a,b),使得Ja£/UW)=(b-a)/(^)A.若用区间左端点a的函数值/(a)作为f(f)的近似值，则得到我们熟悉的左矩形公式：J=(Jj—ci)f(6/),其积分余项Rj=I-J='；")(b_ay(1)B.若改用区间中点。=凹的函数值/(出)作为/(f)的近似值，则得到中矩形公式：R=(h—a)/(———)，其积分余项Rr=1-J='("_(2)由于我们导出的左矩形公式和中矩形公式对积分值的近似佔计误差很大,所以我们采用复化求积公式来近似估计积分的准确值.2复化公式所谓复化⑴就是指将一个积分的积分区间［。,引划分为A?等分，在每一个小区间［忑，无•+」上
3、应用左、中矩形公式求出积分值lk(k=1,2,・・・,町，然后对Ik求和，近似估计出积分I的积分值的算法.2・1复化左矩形公式将积分区间M划分为n等分涉长h=上纟，分点母=G+kh,k=0,1,・・・/.n对每一个小区间［xk,xk+］］釆用左矩形公式有I=（兀皿=ZQ心-E（也-矩”5）=逹/（血）=Jtl（3）Jt=o兀A*=0*=0丿”称为复化左矩形求积公式，下标n表示将区间肚对划分为n等分.2.2复化中矩形公式类似于复化左矩形公式，对每一个小区间采用中矩形公式，且令兀心=竺竽斗则有方2b，?-171-1fl-1=”（兀皿=工广/（兀加-S（x,+1-x,）/（xui）=吃/（九』=
4、R.⑷&二0兀交k=02&=02心称为复化中矩形求积公式，下标n表示将区间［a,b］划分为n等分.⑶3复化公式的误差分析3.1复化左矩形公式的误差估计公式由（1）式对每个小区间有误差估计式人=r'/=（忑+厂无）/（无）+铐"（忑+1一忑）2二hfg+转Jh2%22其中久介于忑，心+i之间，将上式代入（3）中则有b1三一］/=J==工广/（兀加=工（％1-心）/（忑）+牙工（林+1-入）1厂（久）"jt=o^=0■kk=0Ljt=o?l-l力2"-1=/2工/（忑）+可工/仇）k=02k=0从而复化左矩形公式的误差估计式为RAi-jftf血）=咛2-1/仇）乙k=（）乙nk=0由于.厂（兀）
5、在［a,b］上连续,久均为［a,引的内点，所以由中值定理知，存在一点〃e［a,h］,1/I-使得丄•工门久）二厂（〃）,所以有nk=0心（/）=/一血=邑牛3/"（〃），〃“以］⑸&（/）称为复化左矩形公式的误差估计式，下标〃表示将区间be］划分为〃等分.3.2复化中矩形公式的误差估计公式类似于复化左矩形的误差公式,同样可得复化中矩形公式的误差估计公式h2(b-a)~241升一其中匚G（兀心+1）,由于厂（兀）在［d,b］上连续，彳均为［d,b］的内点，所以由中值定理知,1n-1存在一点^［a.hl使得丄工厂©）二厂©，所以有nk=0En(f)=i-Rft/(丁)厂©,兵[“]⑹4矩形公式的
6、递推化虽然复化求积方法对提高精度是行之有效的,但在使用求积公式之前必须给出合适的步长，步长太长,精度难以保证，步长太小，又会导致计算量的增加•而事先给出一个合适的步长往往是困难的，那到底怎样选取步长才是合适的呢？实际计算中常常采用变步长的方案，即在步长逐次分半（即步长二分）的过程中,反复利用复化求积公式进行计算,直至所求得的积分值满足精度要求为止.2.1左矩形公式的递推公式及误差变步长过程中左矩形的计算规律：将求积区间［⑦引分成舁等份，则一共有几+1个分点，按左矩形公式计算丿“，需要提供〃个函数值，如果将积分区间再分一次，则分点增至2斤+1个,将二分前后两个积分值联系起来加以考虑，注意到每个
7、子区间［忑,无+」经过二分只增加了一个分点兀+*二耳+无利,22利用复化的左矩形公式求得该子区间上的积分值为2［/（林）+/（母十）］,其中代11=巳表二分前的步长，将每个子区间上的积分值相加得n厶气劝*）+/（%）］=铝伽）+££/（%）十”+钗⑺ZB0■Z店0Z妇0LZ从而根据左矩形公式的误差公式I-Jnj'x)dx=
8、[/(/2)-/(d)]得，积分值的截断误差大致与h成正比，因此当步长二分后，误差将
