复化数值积分

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1、复化数值积分　　由插值的龙格现象可知，高阶牛顿-柯特斯积分不能保证等距数值积分系列的收敛性，同时可证（略）高阶牛顿-柯特斯积分的计算是不稳定的。因此，实际计算中常用低阶复化梯形等积分公式。　　7.3.1复化梯形积分　　把积分区间分割成若干小区间，在每个小区间上用梯形积分公式，再将这些小区间上的数值积分累加起来，称为复化梯形公式。复化梯形公式用若干个小梯形面积逼近积分比用一个大梯形公式效果显然更好，如图7.4所示。这种作法使我们想起定积分定义，即它为被积函数无限分割的代数和。这也正是计算定积分最朴素的算法。图7.4复化梯形公式积分视图　　复化梯形积分计算公式　　对作等

2、距分割，有，，于是　　　　在上，，则有　　　　 　　记等分的复化梯形公式为，有　　 　　（7.11）　　复化梯形公式截断误差　　由，根据均值定理，当时，存在，有，于是　　　　　　  　　　（7.12）　　由此看到复化梯形公式的截断误差按照或者的速度下降，事实上，可以证明，只要在上有界并黎曼可积，当分点无限增多时，复化梯形公式收敛到积分。　　记 ，则有　　　　对于任给的误差控制小量，有　　  或  　　就有，式中表示取其最大整数。　　7.3.2复化辛普森积分　　把积分区间分成偶数等分，记，其中是节点总数，是积分子区间的总数。　　记，，在每个区间上用辛普森数值积分公式计

3、算，则得到复化辛普森公式，记为。　　复化辛普森积分计算公式　　　　而，称　　　　　    　（7.13）　　为复化辛普森积分公式，它是在上采用辛普森积分公式叠加而得。下面用图7.5显示复化辛普森积分计算公式中节点与系数的关系，取，在每个积分区间上提出因子后，三个节点的系数分别是1，4，1；将4个积分区间的系数按节点的位置累加，可以清楚地看到，首尾节点的系数是1，奇数点的系数是4，偶数点的系数是2。141　　　　　　　　141　　　　　　　　141　　　　　　　　141142424241图7.5 复化辛普森积分系数　　复化辛普森公式的截断误差　　设，在上的误差为　　　

4、　因此，　　　　　　即       　  （7.14）　　与复化梯形公式类似，误差的截断误差按照或者的速度下降。可以证明，只要在上有界并黎曼可积，当分点无限增多时，复化辛普森公式收敛到积分。　　记，则有　　　　对任给的误差控制小量，只要　　   或   　　就有。　　例7.5求，计算中要求有5位有效数字。用复化梯形和复化辛普森求积公式的分点应取多少？　　解：     　　　　由复化梯形误差公式得到：　　　　计算出，复化梯形公式至少要在.00等分n=68。　　由复化辛普森误差公式，有　　　　在复化辛普森公式中取或。      　　7.3.3复化积分的自动控制误差算法　

5、　复化积分的误差公式表明，截断误差随分点的增大而减小，对于给定的误差量，用估计函数导数的界的方法可计算出。用误差公式计算满足精度的分点数，像是在做一道计算导数上界的微积分习题（如例7.5所示）。但是在实际运算中，一般难以估计出函数的各阶导数界，也就无法确定分点数。在计算中常用误差的事后估计方法，即用估计误差。　　T2n(f)的计算公式　　对定积分，取分点，计算得　　　　取分点，计算得　　　　这里，。可以看到，的值是与新增分点的组合。　　取分点，计算得　　　　　　这里，。　　同理，计算时只要在的基础上计算新增分点，的值再做组合，如图7.6所示。　　图7.6与　　一般地

6、，每次总对前一次的小区间分半，分点加密一倍，并可充分利用老分点上的函数值，每次只需计算新增分点的和。　　对上等分，，则有　　　　记上的中点为则　　　　 　　（7.15）　　　　其中。　　或       　　其中。　　类似地，可得积分节点为，的辛普森求积公式的关系式：　　       　　　 （7.16）　　其中：　　由误差公式：　　　　　　由于，分别为及个点上的均值，可视，于是　　 　　上式表明的误差大约是误差的4倍。　　或         　　　　 （7.17）　　由此得到启发，对任给的误差控制量，要，只需即可，而用作为控制手段简单直接，序列在计算机上也不难实现。

7、　　复化积分的算法描述　　从数值积分的误差公式可以看到，截断误差随分点的增长而减少，控制计算的精度也就是确定分点数。在计算中不用数值积分的误差公式确定分点数的理论模式，而用作为控制，通过增加分点自动满足精度的方法称为数值积分公式的自动积分法。即在计算中构造序列，直到或时停止计算，由分点数自动控制积分值的误差，并取。　　下面描述复化数值积分公式的自动控制误差算法，详细程序和算例请看本章7.6节。　　1．输入：误差控制精度e=eps；初始分点值。　　2．计算分点的复化梯形积分　　T1=T2+100     //迭代计算中T1和T2分别表示和　　3．while

8、T1－