一类带阻尼项的p-Laplace系统的多重周期解

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1、应用数学MATHEMATICAAPPLICIA2015，28(4)：811—819一类带阻尼项的p-Laplace系统的多重周期解张申贵，刘华(西北民族大学数学与计算机科学学院，甘肃兰州730030)摘要：利用临界点理论研究带阻尼项的p-Laplace系统周期解的存在性．在具有部分周期位势时，根据广义鞍点定理，得到系统多重周期解存在的充分条件，推广了已有文献的结果．关键词：周期解；p-Laplace系统；临界点．中图分类号：O173．3AMS(2000)主题分类：34A34；34K13文献标识码：A文章编号：1001—9847(2015

2、)04-0811—091．引言与主要结果考虑二阶Itamilton系统{l(0)二一钆()=也(o)一()=0，a．e．(1⋯_)其中T>0，h(t)∈L(0，；RⅣ)，且h(t)满足：厂T／h(t)dt：0．(1．2)设F：『0，T]×RⅣ--+满足如下假设：(A)对每个∈Ⅳ，F(t，)关于t可测；对几乎所有的t∈[0，，F(t，)关于X连续可微，且存在a∈c(+，+)，b∈L(0，；+)，使得IF(t，)la(1x1)b(t)，lVF(t，z)Ia(1x1)b(t)，对所有的X∈Ⅳ和a．e．t∈【0，成立．设位势函数F(t，)关于i

3、是一周期的，1i≤r，即／r、Fl＼+∑k0=F()(1．3)i=1／对所有z∈1RⅣ和a．e．t∈[0，T】成立，其中‰为整数，(e，为Ⅳ中的标准基．当式(1．3)中r=N时，称位势函数F(t，)是周期位势．在具有周期位势时，文[1】和[2]研究了(1．1)多重周期解的存在性．当式(1．3)中0r≤N时，称位势函数F(t，)是部分周期的．在具有部分周期位势和有界非线性项时，文【3～5]研究了问题(1．1)多重周期解的存在性．收稿日期：2014-11—18基金项目：国家自然科学基金(31260098)，西北民族大学中央高校基本科研业务费

4、专项资助(31920130004)作者简介：张申贵，男，汉族，甘肃人，副教授，研究方向：非线性泛函分析和偏微分分方程．812应用数学文[6】中将有界非线性项推广到次线性非线性项，即存在，，g∈LI(0，T；喂+)及0<1，使得IVF(t，)Jf(t)Ixl+9(z)，(1．4)对所有X∈Ⅳ和a．e．t∈[0，】成立，且F满足部分强制条件f南／0F()出一。。，对所有x∈span{e件1，er+2，⋯，eⅣ)．和a-eIt∈[0，T】成立．文[7]将部分强制性条件改进为上方有界的情形：1j~oTF(cj一(T)，对所有∈span{er十1

5、，er+2，⋯，e．v)和a．e．t∈[0，T】成立．当具有部分周期位势且非线性项VF(t，)次线性增长时，文f8—11】中分别得到了一阶非自治Hamilton系统，带有线性部分的Hamilton系统和二阶离散Hamilton系统多重周期解的存在性定理．在具有部分周期位势和线性增长非线性项，即存在，g∈L(0，；R+)，使得fVF(t，)lf(t)lxf+9(t)，(1．5)对所有∈Ⅳ和a．e．t∈【0，T】成立时，文[12]中得到了带阻尼项的二阶Hamilton系统J(t)+m(t)it(t)+VF(t，(t))=0，a．e_t∈[0

6、，，lu(0)一u(T)=(0)一()=0多重周期解的存在性．我们考虑用控制函数~(Ix1)替换次线性增长条件(1．4)中的a，并将文【6]和【7]结果推广带阻尼项的p-Laplace系统{I妻(0)一@)uJ(T)=也(．-0~-)m一(。也t)(le)=0F()=Ia．e．10,(1I6)多重周期解的存在性，其中P>1，m(t)∈(0，；+)，M(t)=m(s)ds，M(T)=0．另外，在具有部分周期位势和线性增长非线性项时，我们将利用广义鞍点定理得到问题(1．6)多重周期解的存在性定理．记M1=maxeM(t)，：mineM(“，

7、t∈【0，T】te[o，T】=(筹)[++c23p-1-1)~0Tf㈤d]．定理1．1设F满足式(1．2)和(1．3)，0N，设存在．厂，g∈L(0，；十)，使得JVF(t，)J≤：(t)lxl+夕(z)，(1．7)对所有∈RⅣ和a．e_t∈【0，T1成立．且limi。n。f1／0eM‘¨F(t，)dt>，(1·8)对所有X∈span{e+1，er+2，⋯，eⅣ)和a．e．t∈[0，T】成立．若f(t)dt

8、的p-Laplace系统的多重周期解813注1．1式(1．7)表明非线性项是线性增长的．令P=4，q=脚，：()+一N；8(，mr(tsi)n=CO+S$，一1且N2)其中X=(，z。，⋯，Ⅳ)T∈Ⅳ，则F