一类次二次lagrange系统的多重周期解

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1、摘要一类次二次Ｌａｇｍｎｇｅ系统的多重周期解哈密顿系统理论是既经典又现代的研究领域，可以从不同的角度进行研究，变分法便是其中之一．哈密顿系统是具有变分结构的系统，求哈密顿系统的解可以转化为寻找其对应泛函的临界点．正因为如此，哈密顿系统的研究与最近２０多年来飞速发展的大范围变分理论即临界点理论相结合，取得了巨大进展．尤其是在应用变分方法寻找哈密顿系统的周期解、同宿轨道解、异宿轨道解等方面，取得了许多非常深刻的结果．本论文主要研究一类较二阶哈密顿系统更一般的方程磊面‰留）一面‰ｑ）昌ｏ，ｇ∈ｃ‘【Ｒ，叫（Ｌ，）的多重丁一周期解ｇ昌ｑ（ｆ）．这类方程称为Ｌａｇｒａｎｇｅ系统

2、．其中Ｌ表示ｈｇｒａｎｇｅ位势函数：￡（懈）墨圭磊～（口）鹎一ｙ㈨，ｇ，占倒胙酞ｑ．『＠）∈ｃ（Ｒｎ，Ｒ）（ｆ，．ｊ『罱Ｌ…，ｎ）ｙＯ，ｑ）是Ｒ肘１上的实值函数．若口；，（口）暑１，则方程（Ｌ。）即化为通常的二阶哈密顿系统．在这里我们主要研究，（厶）中的ｙ在无穷远处是次二次，即要罢‰占）一罢‰占）昌ｏ，ｇ∈ｃ２（瓞，科眢一ｏ’“卜）时其多重周期解的存在性．我们的主要结果是定理１．假设口盯满足条件：（爿）存在常数竹＞ｏ，∥２＞ｏ使得雎Ｉ亭１２蔓（口（口）亭，亭）≤∥２Ｉ亭１２，鼋∈Ｒ＾，亭∈Ｒ一．ｙ（ｆ，鼋）与ｆ无关，简单记为ｙ（鼋），满足下列条件：存在正常数Ｍ，‘，ｒ

3、２，￡使得（Ｋ）Ｐ’（留）Ｉｓ竹（Ｉ留Ｉ），ｌｇＩ＞‘，ｑ∈Ｒ一．（圪）ｙ（ｑ）≥仍（Ｉ留Ｉ）一Ｍ，口∈豫＾．（屹）ｙ（ｑ）一吾（ｇ，ｙ’（鼋））Ｒ。≥竹１＋ｆ（蚓），｜ｑ｜＞乞．其中铣，仍∈ｃ（Ｒ＋，酞＋），且满足下列条件：（ｉ）堕盟呻ｏ，ｘ呻＋。。且％是增加的；（ｉｉ）仍（ｚ）呻＋∞，Ｈ一∞；（ｉｉｉ）高呻㈦Ｉ菇Ｉ呻∞；（ｉＶ）访＋ｆ（ｘ）是Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续的；（Ｋ）存在声∈（０’２）使得口’（ｑ）日＋卢口（口）苫ｏ，峋∈Ｒ一；（Ｋ）ｙ（ｇ）＝ｏ是矿的最小值，ｙ’（口）乒０’对任意的ｑ≠ｏ；（圪）％（ｇ），矿（鸟）在原点是二次可微的，∥（ｏ）的特征值都是正的；

4、对任意的七∈Ｎ，令丁（七）＝幼［（七２＋１）ｙ／Ａ］ｊ，其中Ｖ是ｋ（ｏ））的最大特征值，Ａ是ｙ”（ｏ）的最小特征值．那么，对任意丁＞丁（七），问题（厶）存存至／珍，ｚ七个不同的丁一周期解．发现问题（工。）的多重周期解可化为寻找泛函，（口）２‘砸，粤，；冲２扭（４（ｇ）；，；皿一‘ｙｏ，ｑ陟，ｑ・鼋ｏ）∈研在空间研上的Ｉ｜缶界点．定理２．如果Ｌ满足条件似）及（Ｋ）～（Ｋ），ｇ∈ｒ（Ｒ，Ⅳ）是Ｔ一周期函数，那么对任意ｒ，ｏ，受迫的Ｌａ伊柚ｇｅ系统磊面门＇鼋）一面（ｑ口）。外Ｊ至少存在一个非常数的ｒ一周期解．在这里我们将主要运用临界点理论证明上述结果．关键词；哈密顿系统，Ｌａ

5、黟ａｎｇｅ系统，变分法，周期解如）丢簧国，幻一篱（ｑ幻－ｇ（ｔ）ＭｕｌｔｉｐＩｅＰｅｒｉｏｄｉｃＳｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆＳｕｂｑｕａｄｒａｔｉｃＬａｇｒａｎｇｉａｎＳｙｓｔｅｍｓＨａｍｉｌｔｏｎｉ觚ｓｙｓｔｅｍｔｈｅｏｒｙｉｓｂｏｔｈｃｌ弱ｓｉｃａｌ柚ｄｍｏｄｅｍｒｅｓｅａｒｃｈａｒｅａ，ｗＩｌｉｃｈｉｓｓｎｌｄｉｅｄｂｙｄｉ＆ｆｅｎｔｍｅｔｈｏｄｓ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｕｓｅＶａｒｉａｔｉｏｎａｌｍｅｔｈｏｄｂｅｃａｕｓｅＨａＩｎｉｌｔｏｎｉａｎｓｙｓｔｅｍｈａｓａｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｓｔｍｃｔｕｒｅ．ｓｏｌｕ

6、ｔｉｏｎｓｏｆＨａｍｉｌｔｏＩｌｉａｎｓｙｓｔｅｍｗｉｌｌｂｅｄｂｔａｉｌｌｅｄ舔ｃｒｉｔｉｃａｌｐｏｉｎｂｏｆｔｈｅｃｏｎ．ｅｓｐｏｎｄｉｎｇｆｈｎｃｔｉｏｎａｌｓ．Ｄｕｒｉｎｇｔｈｅｐ懿ｔｔｗｅｎ够ｙｅａｒｓ，ｔｈｅｒｅｈａＳｂｅｃｎａ掣ｅａｔｄｅａｌ０ｆｐｒｏ伊ｅ鹞ｆｏｒ∞ｌｃｕｌ惦ｏｆｖａｒｉａｔｉｏ螂ｔｏｆｉｎｄｐｅｒｉｏｄｉｃ，ｈｏｍｏｄｉｌｌｉｃ，ｈｅｔｅｒｏｃｌｉｎｉｃｏｒｂｉｔｓｆｏｒＨａｍｉｌｔｏｎｉａｎｓｙｓｔｅｍｓ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｉｔｗｍｂｅｄｉｓｃ唆犯ｄｌｈｃｅｘｉｓｔｅｎｃｅｓｏｆｍｕｌｔｉｐｌｅｒ－ｐｅ渤ｄｉｃｓｏｌ

7、ｕｔｉ∞ｓ口－口（ｆ）ｏｆａｄａｓｓｏｆｏｒｄｉｎａ巧ｄｉ纸ｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ：丢姜（ｆ，毋幻一盖（ｆ确玉一。，窜∈ｃ２（Ｒ彤）以）ｗｈｅｒｅ工ｄｅｎｏｔｅｓｔｈｅＩ且挚卸酉ａｎｆｕｎｃｔｉｏｎ￡（蝣）专毫～（口）钧一即，口）ｇ，亭∈彤，ｆ∈Ｒｑ，（鼋）∈ｃ（Ⅳ，Ｒ），（ｆ，，一１，…，厅）ａｎｄ矿Ｏ，鼋）ｉｓａｒｅａｌｆｌｌｎｃｔｉｏｎｏｎＲ州．（‘）ｉｓｃａｌｌｅｄＬａｇｒａＩｌｇｉａｎｓｙＳｔｅｍｓ．Ｉｆｑｊ国）－１，ｔｈｃｎ心）ｉｓｔｈｅｌｌＳｕａｌｓｅｃ∞ｄｏｒｄｅｆｈａＩｎｊｄｔｏｎｉａｎｓｙｓｔｅ