2004年考研概率统计试题分析

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1、2004年考研概率统计试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）1数一、四（6）（数三（5））设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X>DX}=。e【分析】已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。1【详解】由题设，知DX=，于是2λ1+∞−λxP{X>DX}=P{X>}=∫1λedxλλ+∞1−λx=−e1=。eλ【评注】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。22数三(6)设总体X服从正态分布N(µ,σ),总体Y服从正态分布N(µ,σ),12X,X,LX和

2、Y,Y,LY分别是来自总体X和Y的简单随机样本,则12n112n2n2n2⎡12⎤⎢∑(Xi−X)+∑(Yj−Y)⎥⎢i=1j=1⎥2E=σ.⎢n+n−2⎥12⎢⎥⎢⎣⎥⎦【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案。1n11n22222【详解】因为E[∑(Xi−X)]=σ,E[∑(Yj−Y)]=σ,n1−1i=1n2−1j=12故应填σ。【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查。二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）数一、数四（13）（数三（14））设随机变量X服从正态分布

3、N(0,1)，对给定的α(0<α<1)，数u满足P{X>u}=α，若P{X

4、αu1−α22数一、四（14）设随机变量X,X,L,X(n>1)独立同分布，且其方差为σ>0。令12nn1Y=∑Xi，则ni=12σ2(A)Cov(X,Y)=.(B)Cov(X,Y)=σ.11nn+22n+12(C)D(X+Y)=σ.(D)D(X−Y)=σ.[A]11nn【分析】本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有：Cov(X,X)=0,i=2,3,Ln.1inn111【详解】Cov(X1,Y)=Cov(X1,∑Xi)=Cov(X1,X1)+∑Cov(X1,Xi)ni=1nni=2112=DX=σ.1nn【评注】本题(C),(D)两个选项的方差也可直接计

5、算得到：如21+n11(1+n)2n−12D(X+Y)=D(X+X+L+X)=σ+σ112n22nnnnn2n+3n2n+32=σ=σ，2nn2n−111(n−1)2n−12D(X−Y)=D(X−X−L−X)=σ+σ112n22nnnnn2n−2n2n−22=σ=σ.2nn数一(22)（本题满分9分）111设A、B为随机事件，且P(A)=,P(B

6、A)=，P(A

7、B)=令432⎧1,A发生,⎧1,B发生,X=⎨Y=⎨⎩0,A不发生;⎩0,B不发生.求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布；（II）X和Y的相关系数ρ.XY2【分析】先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能

8、取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数。1【详解】（I）由于P(AB)=P(A)P(B

9、A)=，12P(AB)1P(B)==,P(AB)61所以，P{X=1,Y=1}=P(AB)=，121P{X=1,Y=0}=P(AB)=P(A)−P(AB)=，61P{X=0,Y=1}=P(AB)=P(B)−P(AB)=,12P{X=0,Y=0}=P(AB)=1−P(A+B)2=1−P(A)−P(B)+P(AB)=31112（或P{X=0,Y=0}=1−−−=），126123故(X,Y)

10、的概率分布为YX01210312111612(II)X,Y的概率分布分别为X01Y013151PP446611351则EX=,EY=，DX=，DY=,E(XY)=,461636121故Cov(X,Y)=E(XY)−EX⋅EY=，从而24Cov(X,Y)15ρ==.XYDX⋅DY15【评注】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强。通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意。3数三、四(22)(本题满分13分)111设A，B为两