考研高等数学中概率统计试题分析

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1、考研高等数学中概率统计试题分析  摘要:本文分析了概率论与数理统计的内容和题型,对其难度系数进行了打分;通过对难度系数的剖析,说明了概率论与数理统计部分的解答题(22分)常考的范围,便于考生复习时抓住重点,对于考研的同学有一定的指导作用.  关键词:概率论与数理统计研究生考试高等数学  在考研的高等数学中,满分是150分,概率论与数理统计的内容,34分,占大约22.7%,其中选择题8分(两小题),填空题4分(一小题),解答题22分(两大题);本文对于概率论与数理统计的内容,根据公式(或概念)的难度,将其难度划分为若干等级,进行打分;对于题型,根据解题时所用的知识点的多少,也将其难度划分为若干

2、等级,进行打分.最后,根据这两个等级,对难度系数进行综合打分.具体解释如下:  对于公式,根据其难度,分为三个等级,其难度系数分布赋予1、1.5、2.比如,古典概型的公式,P(A)=,其中n为事件A的样本点数,n为样本点总数,该公式很简单,难度系数定义为1;再比如,全概率公式,比较复杂,难度系数定义为1.5;至于连续型随机变量(简记为r.v)的条件密度公式f(y

3、x)=,其中f(x,y)是连续型随机变量(随机变量简记为r.v)(X,Y)的联合密度函数,f(x)为(X,Y)关于X的边缘密度函数,即使f(x,y)和f(x)都求出了,用条件密度公式f(y

4、x)=时,还需要考虑两者的公共定义域,因此

5、难度系数规定为2.7  对于有关概念,也根据其难度,分为三个等级,其难度系数也分布赋予1、1.5、2.比如:独立性概念,比较简单,难度系数定义为1;再比如,t-分布的定义,涉及一个标准正态分布和一个?掊-分布,且还要求独立,涉及的内容较多,难度系数规定为1.5;至于极大似然估计的概念,比较难理解,且离散时和连续时,其似然函数还不一样,故难度系数规定为2.  对于题型,根据其解题时所用到的知识点的多少,对其难度进行打分.所用的知识点多,难度系数就高,比如:古典概型的计算;一般只用到排列与组合的知识,难度系数定义为1;再比如:涉及极大似然估计的题,解题时要用到求导数的知识,解方程的知识,故难度系

6、数定义为2,有时还需验证无偏性,因此难度系数定义为≥2.  对于所用的知识点,也根据知识的难易和运算量进行打分,比如:对于一般的积分,难度系数规定为1;对于积分且需要讨论的,难度系数规定为1.5;对于在一个题目中,多次用积分运算的,比如:对于连续型r.v方差的计算,其难度系数也定义为1.5.  下面我们分析概率论与数理统计的主要内容和题型,对其综合难度系数进行如下分析.  难度系数表  近年来,研究生考试中,解答题22分(两大题),基本上是考查学生综合运用知识的能力,这类考题其综合难度系数一般,下面针对近年来的试题作具体分析:(下面的1―10题,见文献[1].11―12题,见文献[2]).7

7、  1.(2007年数学一、三(23),11分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为  f(x,y)=2-x-y,02Y};(2)求Z=X+Y的概率密度f(z).  难度分析:求概率,用积分,难度系数为1;求二维随机变量的函数的密度函数,公式难度系数1.5;再用积分计算,且涉及讨论,难度系数为1.本大题的难度系数为3.5.  2.(2007年数学一、三(24),11分)设总体的概率密度为  f(x;θ),0

8、计量;  (Ⅱ)判断4是否为θ的无偏估计量,并说明理由.  难度分析:求矩估计量,难度系数为3.5,再验证无偏性,难度系数1,本大题综合难度系数为4.5.  3.(2008年数学一、三(22),11分)设随机变量与相互独立,X概率分布为P{X=i}=(i=-1,0,1),Y的概率密度为f(y)=1,0≤y≤10,其他,记Z=X+Y  (1)求P{Z≤

9、X=0};  (2)求Z的概率密度.  难度分析:求条件概率,难度系数为2.5;求随机变量函数的分布,难度系数为3,综合难度系数为5..5.  4.(2008年数学一、三(23),11分)X,X,...X是总体为N(μ,7σ)的简单随机样本.记

10、=X,S=(X-),T=-S,  (1)证T是的无偏估计量;  (2)当μ=0时σ=1时,求DT.  难度分析:证明无偏性,需要求期望,难度系数为3,再求方差,难度系数为1,综合难度系数为4.  5.(2009年数学三(22),11分)(22)(本题满分11分)  设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=e,0

11、x);  (II)求条件概率P=[X≤

12、

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