电势的方程3.1

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1、静场的边界值问题介质和场之间相互影响场用微分方程描述介质用边界描述电势的泊松方程求解标量的一维微分方程比求解矢量的三维方程更简单对于静电场??⋅?=?0?×?=0由电场满足的散度方程：?·?=??0?=−??（旋度为0）直接得到电势满足的微分方程????=−(泊松方程)??在除了导体和电介质之外的区域，?=??+??=0那么：得到拉普拉斯方程?2?=0静电问题归结为：将导体和电介质边界上的电荷作为边界条件，求解拉普拉斯方程的解，然后利用?=−??求出电场静电势的边界条件将所有的边界条件用电势表达由?=????=−????把边界条件?2?−?1?=????2??1改造成?2−?1=?????

2、?分界面两侧电势的导数不连续??2??1当??=0可得?2=?1????2由?2−?1=−?·??1选择垂直于界面的路径，考虑到En为有限值由于??′→0时???′→0得到??2−?1=0或表达成?2=?1分界面附近的电势连续对于边界为导体的情况1.导体为等势体：?=C(常数)??2.导体内部电场为零，导体内部=0????导体外部?=−????静电场的唯一性定理满足相同泊松方程和相同边界条件的解是唯一的(最多相差一个常数)假定：对于一定的电荷分布（电荷密度?已知）和一定的边界条件，存在两个不同的解?1和?2满足相同的泊松方程和相同的边界条件2???1=−?02???2=−?0狄利克雷边界条

3、件第一类边界条件：已知边界上的电势?1/=?2/=已知诺伊曼边界条件第二类边界条件：已知边界曲面上的电荷分布，也就是已知边界面上电势的法向导数??1??2?/=?/=已知?n?n令：?=?1−?2那么：?2?=0?满足的边界条件为?/=0（第一类边界条件）???/=0（第二类边界条件）?n选取一个足够大的闭合曲面S，包围所给定的电荷、导体和介质区域，研究???的面积分(???)⋅dS=?⋅(???)dV??=(??)2d?+??2?d???=(??)2d?(?2?=0)???由??=上面的式子变成：?n??2(?)⋅dS=(??)d??n??无论第一类边界条件，还是第二类边界条件，上式左边

4、都为0，所以：2(??)d?=0所以??≡0?1−?2=常数满足相同泊松方程和相同边界条件的两个电势最多差一个常数结论可以采取任何方法求得满足边界条件的泊松方程的解，包括猜测。例题：3-3-1P51