静电势及其微分方程

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1、第二章静电场本章内容：电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。本章研究的场源问题：在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场。静电场的基本特点：边值关系：②等均与时间无关（，为唯一解）①③不考虑永久磁体（）④基本方程：静电场标势微分方程唯一性定理分离变量法镜像法格林函数法电多级矩本章具体内容：§2.1静电势及其微分方程一、静电场的标势二、静电势的微分方程和边值关系三．静电场的能量本节主要内容在静止情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分为这两方程连同介质的

2、电磁性质方程是解决静电问题的基础。静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无旋性，我们可以引入一个标势来描述静电场，和力学中用势函数描述保守力场的方法一样。一、静电场的标势把单位正电荷由P1点移至P2点，电场E对它所作的功为这功定义为P1点和P2点的电势差。若电场对电荷做了正功，则电势φ下降。由此由这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。参考点的选择是任意的，在电荷分布于有限区域的情况下，常常选无穷远点作为参考点。令()=0有无旋性的积分形式是电场沿任一闭合回路的环量等于零，即设C

3、1和C2为P1和P2点的两条不同路径。C1与C2合成闭合回路，因此电荷由P1点移至P2点时电场对它所作的功与路径无关，只和两端点有关。相距为dl的两点的电势差由于因此，电场强度E等于电势的负梯度当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已知电势φ时，通过求梯度就可以求得电场强度。点电荷Q激发的电场强度其中r为源点到场点的距离。把此式沿径向场点到无穷远点积分，电势为一组点电荷Qi激发的电势若电荷连续分布，电荷密度为ρ，设r为源点x'到场点x的距离，则场点x处的电势为二、静电势的微分方程和边值关系均匀各向同性线性介质代入其中ρ

4、为自由电荷密度。泊松方程是静电势满足的基本微分方程。给出边界条件就可以确定电势φ的解。得泊松方程通过转换获得两介质界面上电势φ必须满足边值关系法向电场不连续电荷沿法线方向移动,切线分量不做功，沿法线方向做功为零（因电场有限，且间距趋于零）导体的特殊性1、导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；2、导体内部电场为零；3、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面，整个导体的电势相等。设导体表面所带电荷面密度为σ，设它外面的介质电容率为ε，导体表面的边界条件为三、静电场能量由E=-和D=得因此式中右边第二项

5、散度体积分化为面积分所以例1求均匀电场E0的电势。均匀电场每一点强度E0相同，其电场线为平行直线。选空间任一点为原点，并设该点上的电势为φ0，那么任一点P处的电势为解xyzPR若选0=0，则有其中x为P点的位矢。注意均匀电场可以看作由无穷大平行板电容器产生，其电荷分布不在有限区域内，因此不能选()=0.例2均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为，求电势。如图，设场点P到导线的垂直距离为R，电荷元dz,到P点的距离为解积分结果无穷大，无穷大的出现和电荷和电荷不是有限区域内的分布有关。则计算两点P和P0的电势差可以不

6、出现无穷大。设P0点与导线的垂直距离为R0，则P点和P0点的电势差为若选P0点为参考点，规定，取φ的梯度得则例3求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。整个导体为等势体,导体球的电荷分布于球面上因此静电场总能量为解方法之一:按电荷分布方法之二:按电场分布因为球内电场为零，故只须对球外积分