3.1 静电势及其微分方程

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1、静静势电势及其微微方程分方程汪毅本章重点：静电势及其特性、分离变量法、镜象法本章难点：电多极矩法、格林函数法静电势静电场遵循的方程：hh∇⋅=∇DEρ×=0表明静电场是无旋场，是保守力场，静电场的源为自由电荷。矢量场无旋，可以表示为任意标量的梯度静电场标势[简称电势]ddϕE∇×=E0=−∇ϕ静电势静电场安培环路定理：hhî∫Edl⋅=0L静电场力做功与路径无关只与两端点有关，定义P1和P两点间的电势差为：2Phh2ϕϕ()()PPE−=−⋅dl21∫P1实际计算中将无穷远处定义为电势的零点：Phhϕ()PE=∫无穷远处⋅dl静电势相距为dl的两点的电势差为：hhh∂ϕ∂∂ϕϕdϕϕ=

2、−⋅Edl=dx+dy+dz=∇⋅dl∂∂∂xyzhE=−∇ϕ①ϕ的选择不唯一，相差一个常数，只要h知道ϕ即可确定E②取负号是为了与电磁学讨论一致③ϕ满足叠加原理电荷分布在有限区的静电势d∞∞Qr′dQdr′Qa.点电荷:ϕ=⋅∫∫32dl==PP44πεrr′πε′4πεr000nQib.电荷组:ϕ=∑i=14πε0riQc.无限大均匀线性介质中点电荷:ϕ=4πεrQfQPQQQf+Pfϕ=ϕ=fPϕ=ϕϕfP+==4πε0r4πε0r44πεπ0rrεdρ()x′′dVd.连续分布电荷:ϕ=∫V4πεr0静电势的微分方程hhhhD==εϕEE,−∇∇⋅=Dρh2⇒∇⋅=−∇⋅∇=−

3、∇=εEεϕεϕρ2ρ泊松方程：∇ϕ=−适用于均匀线性介质ε2拉普拉斯方程：∇ϕ=0求解静电势ϕ仅需要一个偏微分方程，求解E却需要知道其散度和旋度。静电势的边值关系nA0hhPA0ε2PA1ϕϕ−==−⋅EdlA00B∫B0=0PB0εPB11ϕϕ=AB00ϕϕϕϕ−=−A1010ABBhhhhϕϕ=AB11EdlEdl⋅=⋅12hhhn⋅−=()DD21σ∂∂ϕ21ϕhhhε−εσ=−h21∂∂nnn×−=()EE021导体的边值关系导体内部不带静电荷，电荷只能分布于导体表面；导体内部电场为零；导体表面上电场必沿法向方向，因此导体表面为等势面，整个导体的电势相等。导体静电条件下导∂ϕ

4、ϕεσ=常数=−体表面的边界条件∂n∂φQ==î∫∫SSσdSîεdS∂n静电场能量均匀线性介质中能量密度：1hhhhw=()ED⋅+H⋅B2总能量：1hhWE=⋅∫DdV2∞1=∫ρϕdV2∞导出过程：hhhhhhE⋅DDDD=−∇⋅ϕ=−∇⋅()ϕϕρ+∇⋅=ϕϕ−∇⋅()D11hWd=−∫ρϕVD∫∇⋅()ϕdV22∞∞hhh11()DdVDdS2∫∫∇⋅ϕϕ=î⋅ϕ∝D∝dSr∝Sr2rhhh1hφϕDdS⋅∝r→∞î∫SDdS⋅→0r1该公式只适合于静电场情况。Wd=∫ρϕV能量不仅分布在电荷区，而2∞且存在于整个场中。例题：求电偶极子的电势和场强hh解：电偶极子处在坐标原点

5、，电矩Pq=l沿z轴，它在远处()rl2P点的电势可由两点电荷电势叠加求得：qqqrr−′ϕ=−=444πεrrr′πεπεr′0002rr′′=−rrr,c=losθ由于()r2l，近似hh于是qlcosθpr⋅ϕ==2344πεπrrε00场场为强为：h11⎡hhh1h⎤Ep=−∇=−ϕ()⋅r∇+∇()p⋅r⎢⎥334πε0⎣⎦rrhhhh13⎡⎤()prrp⋅=−⎢⎥534πε0⎣⎦rr如果选取球坐标系，分量值为：12cpposθθ1sinEEE===0r33θφ44πεrrπε00求带电荷量为Q、半径为a的导体球的静电场总能量。习题三1，3