直接证明与间接证明-2013届高考理科数学第一轮基础复习

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1、第六节　直接证明与间接证明1．直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的___________，最后推导出所要证明的结论______从要____________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件实质由因导果执果索因推理论证成立证明的结论充分条件框图表示文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证…即证…2.间接证明反证法：假设原命题__________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出________．因此说明假设错误

2、，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾1．综合法和分析法的区别和联系是什么？【提示】综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用．2．反证法的关键是推出矛盾，这些矛盾主要有哪些？【提示】反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．1．(教材改编题)用反证法证明命题：“a，

3、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除【解析】“至少有一个”的否定“没有一个”．【答案】B【答案】C3．设A、B、C是三个集合，那么“A＝B”是“A∩C＝B∩C”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】A＝B⇒A∩C＝B∩C，但A∩C＝B∩CD/⇒A＝B，如当C＝∅，A≠B时，A∩C＝B∩C＝∅，选A.【答案】A对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三条：

4、①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否为理想函数，如果是，请予证明；如果不是，请说明理由．【思路点拨】根据理想函数的定义，证明g(x)满足理想函数的三个条件即可．综合法【尝试解答】g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函数．证明如下：∵x∈[0,1]，∴2x≥1，∴2x－1≥0，即对任意x∈[0,1]，总有f(x)≥0，满足条件①.∵f(1)＝21－1＝1，故满足

5、条件②，当x1≥0，x2≥0，且x1＋x2≤1时，f(x1＋x2)＝2x1＋x2－1，f(x1)＋f(x2)＝2x1＋2x2－2，∴f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝2x1(2x2－1)－(2x2－1)＝(2x2－1)(2x1－1)，∵x1≥0，x2≥0，则2x1－1≥0,2x2－1≥0，∴f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]≥0，即f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)，满足条件③，故函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函数．1．综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到

6、未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．2．综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．本例中条件不变，问题变为“若函数f(x)是理想函数，证明f(0)＝0”，如何求解？【解】令x1＝x2＝0，则x1＋x2≤1，∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0，又由条件①知f(0)≥0，∴f(0)＝0.,【思路点拨】先去分母，再合并同类项，化成积式．【尝试解答】∵m＞0，∴1＋m＞0，所以要证原不等式成立，只需证明，(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋m

7、b2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．,分析法1．分析法是“执果索因”的证明方法，其主要过程是从结论出发逐步寻求使结论成立的充分条件．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A，它的常见书面表达是“要证……只需证……”．2．对于较复杂的不等式，通常用分析法探索证明途径，然后用综合法加以证明，分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，优点是利于思考，因为它的方向明确，思路自然，而综合法的优点是易于表述，条理清晰，形式简洁．(1)用单调性的定义证明f

8、(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)用反证法证明：方程f(x)＝0没有负数根．【思路点拨】(1)按照：设元—作差—变形—判号—结论的步骤证明．(2