高考数学选修知识讲解 直接证明与间接证明（基础）.doc

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1、直接证明与间接证明编稿：赵雷审稿：李霞【学习目标】1.掌握用综合法证题的思路和特点。2.掌握用分析法证题的思路和叙述方式．3．掌握间接证明中的常用方法——反证法的思维过程和特点．【要点梳理】要点一、综合法证题1．定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.2．综合法的的基本思路：执因索果综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的问题．综合法这种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的

2、演绎推理方法．3．综合法的思维框图：用表示已知条件，为定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：（已知）（逐步推导结论成立的必要条件）（结论）要点诠释（1）从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件；（2）用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹；（3）因用综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为：故要从A推理到D，由A推演出的中间结论未必唯一，如B、B1、B2等，可由B、B1、B2进一步推演出的中间结论则可能更多，如C、C1、C2、C3、C4等

3、等．所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”．4．综合法证明不等式时常用的不等式（1）a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）；（2）（a，b∈R*，当且仅当a=b时取“=”号）；（3）a2≥0，

4、a

5、≥0，(a－b)2≥0；（4）（a，b同号）；（a，b异号）；（5）a，b∈R，，（6）不等式的性质定理1对称性：a＞bb＜a。定理2传递性：。定理3加法性质：。推论。定理4乘法性质：。推论1。推论2。定理5开方性质：。要点二、分析法证题1．定义：一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分

6、条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.2．分析法的基本思路：执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.分析法这种执果索因的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法。3．分析法的思维框图：用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：（结论）（逐步寻找使结

7、论成立的充分条件）（已知）4．分析法的格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。要点诠释：（1）分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件．（2）由于分析法是逆推证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表述．5．综合法与分析法的横向联系（1）综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行

8、恰当变形后的利用．分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是宜于表述，条理清晰，形式简洁．我们在证明不等式时，常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的“因”，再用综合法有条理地表述证题过程．分析法一般用于综合法难以实施的时候．（2）有些不等式的证明，需要把综合法和分析法联合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P．若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法，或称“两头挤法”．分析综合法充分表明分析与综

9、合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点．命题“若P则Q”的推演过程可表示为：要点三、反证法证题间接证明不是从正面确定命题的真实性，而是证明它的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到目的，反证法是间接证明的一种基本方法．　1．反证法定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法