资源描述：
《知识讲解直接证明与间接证明（基础）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、直接证明与间接证明编稿：赵雷审稿：李霞【学习目标】1.掌握用综合法证题的思路和特点。2.掌握用分析法证题的思路和叙述方式.3.掌握间接证明中的常用方法——反证法的思维过程和特点•【要点梳理】要点一、综合法证题1.定义：-般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过-•系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.2.综合法的的基本思路：执因索果综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法：它是由已知定向求证，即从数学题的己知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后导岀待证结论或需求的问题.综合法这种由因
2、导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法.3.综合法的思维框图：用P表示已知条件，2・&=1,2,3,n)为定义、定理、公理等，0表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：PnQ、tQ=>2t2=>2t...tQn=>Q(已知)(逐步推导结论成立的必耍条件)(结论)要点诠释(1)从“已知''看“可知”，逐步推出“未知”，由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必耍条件；(2)用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹；(3)因用综合法证明命题“若A则rr的思考过程可表示
3、为：故要从A推理到D,由A推演出的中间结•论未必唯一,如B、B】、B2等，可由B、B
4、、B?进一步推演出的中间结论则可能更多，如C、Ci、C2>C3、C4等等.所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈4.综合法证明不等式时常用的不等式(1)a2+b2>2ab(当且仅当a=b时取号);(2)>fab(a,bWR*,当且仅当a=b时取"=”号)；2(1)a2>0,
5、a
6、>0,(a-b)2>0；(1)—+—>2(a,b同号)；—+—<-2(a,b界号);abab(2)a,bGR,cr+b2>
7、(tz+&)
8、2,(3)不等式的性质定理1对称性：a>b<=>bb]定理2传递性：=>a>cob>ca>b]定理3加法性质：体』》+小十。推论a>b^a+c>b^doc>d定理4推论1a>b>0c>d>0=>ac>bec推论2a>b>0neN*na”>bno定理5a>b>0开方性质："=>丽>臥=>ac>be要点二、分析法证题1.定义：--般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件,在至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立
9、的一种证明方法，叫做分析法.2.分析法的基本思路：执果索因分析法乂叫“逆推证法''或“执果索因法二它是从要证明的结论出发，分析使Z成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，肓到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.分析法这种执果索因的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法。3・分析法的思维框图：用你心1,2,3,…）表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，0所要证明的结论，则用分析法证明对用框图表示为：Q^P}TP}<=P2T讯=引T...T
10、得到一个明显成立的条件
11、（结论）（逐步寻找使结论成立的充分条件）（己知）1.分析法的格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。要点诠释：（1）分析法是综合法的逆过程，即从“未知"看“需知匕执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件.（2）由于分析法是逆推证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表述.1.综合法与分析法的横向联系（1）综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅耍
12、熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用.分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路白然，易于掌握，而综合法的优点是宜于表述，条理清晰，形式简洁.我们在证明不等式吋，常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的“因"，再用综合法有条理地表述证题过程.分析法一般用于综合法难以实施的时候.（2）有些不等式的证明，需要把综合法和分析法联合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由PnJ以推出Q成立，就町以证明结
13、论成立，这种边分析边综合的证明方法，称Z为分析综合法，或称“两头挤法〕分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点乂成为进一步分析的起点.命题“若P则Q”的推演过程可表示为:要点三、
