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1、2021/7/201计算方法2021/7/202第一章绪论1.3误差1.1数值计算的研究对象与特点1.2数值问题与数值方法2021/7/203本章要点:绝对误差(限)和相对误差(限)有效数字位数及其与误差的关系数值问题的性态与误差的关系数值算法设计原则2021/7/2041.1计算机数值方法的研究对象与特点数值计算方法：研究适合计算机进行科学计算的方法。使用计算机、离散。解决科学技术和工程问题的步骤:实际问题建立数学模型研究计算方法编程上机计算求的结果。2021/7/205数值分析的特点：1、面向计算机。2、有可靠的理论分析（收敛性、稳定性、误差分析）。3
2、、要有好的计算复杂性（时间、空间）4、要有数值试验。2021/7/206数值问题：输入数据与输出数据之间函数关系的一个确定而无歧义的描述即：输入与输出的都是数值的数学问题如求解线性方程组求解二次方程是数值问题一、数值问题1.2数值问题与数值算法2021/7/207求解微分方程不是数值问题将其变成数值问题，即将其“离散化”“离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题的主要方法，这也是计算方法的任务之一2021/7/208二、数值方法数值方法:是指解数值问题的在计算机上可执行的系列计算公式在计算机上可执行的公式是指只含有加减乘除的公式现在的计算机中几乎都含有关于开方
3、的标准函数sqrt()常见的在计算机上不能直接运行的计算有:开方、极限、超越函数、微分、积分等等要在计算机上实行上述运算需将其化为可执行的等价或近似等价运算2021/7/209应化为如求根公式应化为公式2021/7/2010研究数值方法的主要任务:1.将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可执行的运算2.针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行的且有效的计算公式3.因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差分析,即数值问题的性态及数值方法的稳定性2021/7/2011三、数值算法数值算法是指有步骤地完成解数值问题的过程.数值算法有四个特点:1.目的明确算法必须有明确
4、的目的,其条件和结论均应有清楚的规定2.定义精确对算法的每一步都必须有精确的定义3.可执行算法中的每一步操作都是可执行的4.步骤有限算法必须在有限步内能够完成解题过程2021/7/2012对算法所要考虑的问题:1.计算速度。例如,求解一个20阶线性方程组,用消元法需3000次乘法运算;而用克莱姆法则要进行次运算,如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。2.存储量。大型问题有必要考虑。3.数值稳定性。在大量计算中,舍入误差是积累还是能控制,这与算法有关。2021/7/20131.3数值计算的误差一、误差的种类及来源模型误差在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽象归
5、结为数学模型,往往要忽略一些次要因素的影响,而对问题作一些简化,因此和实际问题有一定的区别.观测误差在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的,由于精度的限制,这些数据一般是近似的,即有误差截断误差由于计算机只能完成有限次算术运算和逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷过程进行的运算有限化,对无穷过程进行截断,这就带来误差.2021/7/2014如:若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式,由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差Taylor展开2021/7/2015舍入误差在数值计算过程中还会遇到无穷小数,因计算机受到机器字长的限制,它所能表示的数据只
6、能有一定的有限位数,如按四舍五入规则取有限位数,由此引起的误差过失误差由于模型错误或方法错误引起的误差.这类误差一般可以避免2021/7/2016数值计算中除了过失误差可以避免外,其余误差都是难以避免的.数学模型一旦建立,进入具体计算时所考虑和分析的就是截断误差和舍入误差经过大量的运算之后,积累的总误差有时会大得惊人,因此如何控制误差的传播也是数值方法的研究对象.二、误差和误差限定义1.2021/7/2017绝对误差限或误差限.显然或且2021/7/2018哪个更精确呢?定义2.2021/7/2019绝对误差限相对误差限往往未知代替相对误差代替相对误差限因此202
7、1/7/2020例1.解:2021/7/2021例2.解:可见,经四舍五入取近似值,其绝对误差限将不超过其末位数字的半个单位2021/7/2022有4位有效数字有6位有效数字三、有效数字定义3.若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n位，就说x*有n位有效数字.有8位有效数字只有4位有效数字2021/7/2023且其中2021/7/2024例3.实际上只1有个2021/7/2025定理.2021/7/2026例4.从以上分析可见,四舍五入的近似值的数字都是有效数字而不是四舍五入得到的近似值的数字不一定是有效数字m=2m=32021/
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