数值与计算方法第1章绪论

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1、数值计算方法1先修课程高等代数、线性代数、一门编程语言开课情况48学时，3学分。2教学安排1.绪论2.非线性方程的数值解法3.线性方程组的数值解法4.函数逼近的插值法与曲线拟合法5.数值积分6.常微分方程数值解法7.矩阵特征值和特征向量的数值解法3第1章绪论利用计算机解决实际问题有三大步骤：建立模型计算问题的解(1.选择数值方法；2.编写程序)实验验证本课程的任务：讨论第Ⅱ步，即介绍计算机上的常用的数值方法4实际问题数学模型(数值)算法编程计算结果抽象：“去伪存真，去粗取精”(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)5总体设计(含模型的细化等)详细设计(主要是算法设

2、计)实验验证其中Ⅱ包括：连续系统的离散化离散型方程的数值求解以计算机为工具求解各种数学模型需经历三个过程6计算方法主要研究将数学模型变成数值问题,并研究求解数值问题的数值方法，进而设计数值算法。内容包括:基本概念介绍；误差及分析；收敛性、稳定性；算法复杂性等7计算数学的对象计算数学是一门古老的数学如计算圆周率、《九章计算》等；牛顿、莱布尼兹等提出的微分、积分计算；计算数学是一门年轻的数学近代计算机的诞生，产生了数学的计算机计算.计算机与数学的关系非常密切计算数学：计算机上的数学方法。或定义为：研究数值计算方法的设计、分析和有关理论基础与软件实

3、现的一个数学分支。计算数学：《计算方法》或《数值分析》8科学理论、科学试验和科学计算(计算的方法)是现代科学的三个组成部分计算机下的科学计算大大地提高了计算速度和计算精度，是使原来不能实现的海量复杂计算成为现实科学计算是以计算机为基础的科学计算，其计算理论是计算数学计算数学的应用：天体物理、大气研究、分子生物、集成电路、天气预报、模式识别、网络信息搜索等计算数学的发展：进行高效率、高精度的并行计算计算数学的应用与发展9为什么要学习计算方法这门课？利用计算机求解实际问题的核心过程，非常重要。虽然已有大量数值算法的软件包，但需要我们了解算法设计的

4、原理，以便更好地应用。随着计算机的应用越来越广泛，计算问题越来越复杂，规模越来越大，现成的数值方法软件包不能满足特定需要，如数字图像处理、天气预报、Web搜索。10用计算机求解，需要首先将数学模型转换为数值问题，然后研究求解数值问题的数值算法。11（1）数值问题数值问题：输入数据与输出数据之间函数关系的一个确定而无歧义的描述。即：输入与输出的都是数值的数学问题如求解线性方程组求解二次方程都是数值问题12求解微分方程是不是数值问题？将其变成数值问题，即将其“离散化”“离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题的主要方法，这也是计算方法的任务之

5、一13（2）数值方法数值方法：是指解数值问题的在计算机上可执行的系列计算公式。在计算机上可执行的公式是指只含有加减乘除的公式。现在的计算机中几乎都含有关于开方的标准函数sqrt()常见的在计算机上不能直接运行的计算有:开方、极限、超越函数、微分、积分等等。要在计算机上实行上述运算需将其化为可执行的等价或近似等价运算。141.如求根公式2.应化为公式151.1数学问题的数值解法例示例1.1.1试求函数方程x=cosx在区间内的一个根。解16注：【零点定理】设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)×f(b)<0

6、），那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ

7、布尼兹公式2.数值解：在特定条件下通过近似计算,（如有限元的方法,数值逼近,插值的方法）得出来的一个数值。解析解：解析解为该函数的解析式。22例1.2.3求Ax=b，Det(A)≠0，A=(aij)2020解：1.用Cramar法则求解，总计算量N=((n+1)(n-1)n!+n)flop当n=20,N≈9.71020flop.以一台10亿/秒的计算机需约3万年.结论：分析算法的效率，选择算法非常重要解：2.使用Gauss消去法，n=20，N≈3060flop=O(n3/3)flop.23注释：Cramer法则设线性方程组简记AX=b24

8、其中25262728现取h=0.05,其结果见下表:xnynY=xnynY=01.000001.000001.21.849311.849310.21.183221.