数值计算方法习题-答案~(第二版~)(绪论~)

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1、-数值分析（p11页）4试证：对任给初值x0,求开方值的牛顿迭代公式恒成立下列关系式：证明：（1）（2）取初值，显然有，对任意，6证明：若有n位有效数字，则，而必有2n位有效数字。8解：此题的相对误差限通常有两种解法.①根据本章中所给出的定理：（设x的近似数可表示为，如果具有l位有效数字，则其相对误差限为，其中为中第一个非零数）-则，有两位有效数字，相对误差限为，有两位有效数字，相对误差限为，有两位有效数字，其相对误差限为：②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解对于，其相对误差限为同理对于，有对于，有备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，

2、但第一种是对于所有具有n位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。（2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。11.解:，，具有3位有效数字-，具有7位有效数字9.解：有四舍五入法取准确值前几位得到的近似值，必有几位有效数字。令,,所对应的真实值分别为,,，则①∣-∣≤=∣-∣/∣∣＜/2.72＜0.00184②∣-∣≤=∣-∣/∣∣＜/2.71828＜0.00000184③∣-∣＜=

3、∣-∣/∣∣＜/0.0718＜0.00069712.解：⑴－=⑵1-cosx==2⑶≈1+x++…+-1=x++…+13.解：⑴-=⑵=-设=a，=b,则==-=-⑶===-习题一（54页）5.证明：利用余项表达式（11）（19页），当为次数≤n的多项式时，由于=0，于是有=－=0,即=，表明其n次插值多项式就是它自身。9.证明：由第5题知，对于次数≤n的多项式，其n次插值多项式就是其自身。于是对于=1，有=即，++=则，++=111.分析：由于拉格朗日插值的误差估计式为－=误差主要来源于两部分和。对于同一函数讨论其误差，主要与有关。在（1）中

4、计算x=0.472的积分值，若用二次插值，需取三个节点，由于0.472在1，2两个节点之间，所以应选1，2为节点，在剩下的两个点中，与0.472更靠近，所以此题应选,,为节点来构造插值多项式。15.证明：由拉格朗日插值余项公式有︱－︱≤≤︱︱︱︱-由于==++≥︱－︱≤︱︱20.证明：当n=1时，==C·=C假设当n=k时，结论成立，则有=C；=C；那么，当n=k+1时，==C=C证明完毕。（类似的方式可证明第一个结论）21.解：由定理4（26页）可知：=,其中当n>k时，==0；当n=k时，==；=13.解：由题意知，给定插值点为=0.32,

5、=0.314567;=0.34,=0.333487;=0.36,=0.352274由线性插值公式知线性插值函数为=+=+-当x=0.3367时，≈≈0.0519036+0.2784616≈0.330365其截断误差为︱︱≤︱︱，其中=︱︱=，=-，=︱︱≈0.333487于是︱︱≤×0.333487×0.0167×0.0033≤0.92×若用二次插值，则得=++≈≈0.330374其截断误差为︱︱≤︱︱其中=︱︱=︱︱=<0.950于是︱︱≤×︱0.950×0.0167×0.0033×0.0233︱<0.204×17解：差商表为————————

6、———————————————————————一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商五阶差商———————————————————————————————1-32033151564483391510557121061928715100由差商形式的牛顿插值公式，有=＋＋＋=-3＋3＋6＋-23题：解：由于，则设由，则所以24.解：由于可设由得，有：所以26．解：由泰勒公式有设其满足，其中由，得代入(*)式既可得.33.解：由于，故在处有连续，即：解得：-34、解：首先确定求解过程中涉及到的一些参数值。,,于是得到关于的方程组：(三对角方程)（追赶法）解

7、方程求出，代入-即得满足题目要求的三次样条函数习题二2.解：判断此类题目，直接利用代数精度的定义当时，左=右=，左=右当时，左=右=，左=右当时，左=右=，左=右当时，左=右=，左右所以求积公式的代数精度为2.3.解：⑴求积公式中含有三个待定参数，即：，因此令求积公式对均准确成立，则有解得：-所求公式至少有2次代数精度。又由于当时，左=0右=当时，左=右=所以求积公式只有3次代数精度。⑵、⑶类似方法得出结论。6.解：因要求构造的求积公式是插值型的，故其求积系数可表示为故求积公式为：下面验证其代数精度：当时，当时，当时，所以其代数精度为1。7.证

8、明：⑴若求积公式⑷对和准确成立，则有及-所以求积公式对亦准确成立。⑵次多项式可表示为若公式⑷对是准确的，则有7题中的上一步可知，其对亦成立。由代数精度