数值计算方法习题答案(第二版)(绪论).docx

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1、数值分析（p11页）4试证：对任给初值xo,求开方值...a（a0）的牛顿迭代公式xi2(xkXk),k0,1,2,恒成立下列关系式：(1)Xki、、a疥区a)2,k0,1,2,•…⑵Xk石k1,2,……证明:（1）Xk1'、a1Xk—2XkaXk22aXka2XkXka2Xk（2）取初值X00,显然有Xk0，对任意k0，Xk11Xk2k亘1x~Xk2-k2—a、a.axk6证明：若Xk有n位有效数字，则XkV81101n，2一2而Xk1V8128Xk—XkXk2.51’八22n—10Xk1屈4丄1022.522nXk8

2、2XkXk1必有2n位有效数字。8解：此题的相对误差限通常有两种解法•①根据本章中所给出的定理：**m*则其相对（设X的近似数X可表示为X0.a^2••…an10m，如果x具有I位有效数字,XX1l1*误差限为一———10，其中a1为X中第一个非零数）x2a1精品则Xi2.7，有两位有效数字，相对误差限为exiixi

3、1010.025精品精品x22.71，有两位有效数字，相对误差限为eX2X2I1r21010.025精品精品X32.718，有两位有效数字，其相对误差限为:

4、xae1030.00025精品精品②第二种方法直

5、接根据相对误差限的定义式求解对于x12.7，x!e0.0183x1e0.0183其相对误差限为讦牙0.00678同理对于X22.71，有X2e

6、x2

7、0.0083ccccccc0.0030632.71对于x32.718，有

8、X3e0.0003ccc—c0.000122.718备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。（2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与

9、近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。11.解：222553.142857......，3.1415929.......7113221—102，具有3位有效数字72精品25511316-10，具有7位有效数字29•解：有四舍五入法取准确值前几位得到的近似值，必有几位有效数字。令X1,X2,X3所对应的真实值分别为x；,x；,x；，则①1x1■*-X11w1210cosx211_2102*1“21x-1■-X-I1/1X11V102/2.72V0.00184②1x2*-x21w1101i_11052

10、2*151X2-X21/1X2IV—105/2.71828V0.000001842③1X3*-X31V1101i_110422*1“41X3-X31/1X3IV-102/0.0718V0.00069712•解:11X2x2⑴一12x1X(12x)(1x).2SInx2x2n2n,X“xxxx⑶e1疋1+x++…+-1=x++…+2!n!2!n!x11⑵2dt=arctan(x1)-arctanxx1t2设arctan(x1)=a,arctanx=b,贝U,,,、tanatanb1tan(ab)==1tanatanb1x

11、(x1)arctan(x1)-arctanx=arctan11x(x1)⑵1-cosx==2sin精品⑶ln(x(x21)=In=ln1In(x吋x21)=-1n(xvx21)xJx21习题一(54页)5证明：利用余项表达式(11)(19页)，当f(x)为次数wn的多项式时，由于fn1(x)=O,于是有Rn(x)=f(x)-Pn(x)=O,即Pn(x)=f(x)，表明其n次插值多项式Pn(x)就是它自身。9证明：由第5题知，对于次数wn的多项式，其n次插值多项式就是其自身。于是对于f(x)=1，有F2(x)=f(x)即,

12、lo(x)f(X°)+h(X)f(xJ+l2(X)f(X2)=f(X)则，lo(X)+h(X)+J(X)=111.分析:由于拉格朗日插值的误差估计式为f(x)-(n1)()Pn(X)=(n1)!n(XXk)k0(n1)()误差主要来源于两部分(n小n(X0Xk)。对于同一函数讨论其误差，主要与(Xk0xk)有关。在(1)中计算x=0.472的积分值,若用二次插值，需取三个节点,由于0.472在1,2精品精品X。与0.472更靠近，所以两个节点之间，所以应选1,2为节点，在剩下的两个点中,此题应选Xo,X1,X2为节点来构

13、造插值多项式。(1)P2(x)(XX1)(XX2)yo(xXo)(xX2)y1(XoXJ(X°X2)(X1Xo)(X1X2)(xX1)(xXo)y0.4955529(X2X1)(X2X0)15.证明:由拉格朗日插值余项公式有精品If(x)-p(x)Iw心2!)1(xk0I(xX0)(X2X1)ImaxIf(x)IX。