华中科技大学 计算方法课件第1章 绪论

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1、计算方法丁建完dingjw@hust.edu.cn华中科技大学CAD中心1参考教材：计算方法（第一版）华中理工大学数学系.张诚坚，何忠南编.北京：高等教育出版社第1章绪论1.1引言1.2误差的种类及其来源1.3绝对误差和相对误差1.4有效数字及其与误差的关系31.1引言计算方法也称数值分析。数值分析是研究各种数学问题求解的数值方法，即数值计算。利用计算机求解数学问题得到数值解的全过程，称为数值计算。使用计算机解决科学计算问题大致包含如下几个阶段：4实际问题建立数学模型构造数值算法程序设计获取数值解5选择合适的算法是整个数值计算中非常重要的一

2、环。例如，计算n次多项式：nn−1P(x)=ax+ax++ax+ann−110i若直接计算aix，再逐项相加，共需进行n(n+1)n+(n−1)++2+1=2次乘法与n次加法。当n=10时，需要进行55次乘法与10次加法。6若用秦九韶(Horner)算法，将多项式P(x)改成P(x)=((((ax+a)x+a)xnn−1n−2++a)x+a)x+a210进行计算，则只要进行n次乘法和n次加法即可。7P(x)=((((ax+a)x+a)xnn−1n−2++a)x+a)x+a210P(x)=ax+a当n=1时，10P(x)=(ax+

3、a)x+a当n=2时，210当n=3时，P(x)=((a3x+a2)x+a1)x+a0当n=10时，只要进行10次乘法与10次加法。8通过以上实例可见，数值算法选取不恰当，不仅影响到计算的速度和效率，而且由于数值计算的近似性和误差的传播、积累，直接影响到计算结果的精度，甚至关系到计算的成败。不合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而使计算最终失败，这就是算法的数值稳定性问题。9模型误差截断误差舍入误差实际问题建立数学模型构造数值算法计算机求解数值计算过程中会出现各种误差，往往是难以避免的。例如：模型误差、截断误差和舍入误差等。应

4、该设法尽量降低误差值，尤其要控制住经多次运算后误差的积累，以确保计算结果的精度。103计算实例2−1x=2+1可用四种算式算出：6x=(2−1)x=99−7021x=6(2+1)1x=99+70211如果分别用近似值2≈75=1.4和2≈1712=1.4166按上列四种算法计算，其结果如下表1-1所示。12表1-1序计算结果号算式651=0.00523312211−=−0.1666676661235=0.005020=0.00523312294112=0.005076=0.0050461

5、97237813由表1-1可见，按不同算式和近似值计算出的结果各不相同，有的甚至出现了负值。可见，近似值和算法的选定对计算结果的精确度影响很大。在研究数值算法的同时，需要正确掌握误差的基本概念，误差在近似值运算中的传播规律，误差分析、估计的基本方法和算法的数值稳定性概念，否则，一个合理的算法也可能会得出一个错误的结果。141.2误差的种类及其来源数值计算中，误差主要有如下几种：1.2.1模型误差在建模（建立数学模型）过程中，欲将复杂的物理现象抽象、归纳为数学模型，往往需要忽略一些次要因素的影响，而对问题作某些必要的简化。这样建立起来的数

6、学模型实际上必定只是所研究的复杂客观现象的一种近似的描述，它与真正客观存在的实际问题之间有一定的偏差，这种误差称为“模型误差”。151.2.2观测误差在建模和具体运算过程中所用到的一些初始数据往往都是通过人们实际观察、测量得来的，由于受到所用观测仪器、设备精度的限制，这些测得的数据都只能是近似的，即存在着误差，这种误差称为“观测误差”。161.2.3截断误差在不少数值运算，如微分、积分和无穷级数求和等，必须用极限或无穷过程来求得计算机却只能完成有限次算术运算和逻辑运算将解题过程转化为一系列有限的算术运算和逻辑运算。这就要对某种无穷过程

7、进行“截断”，即仅保留无穷过程的前段有限序列而舍弃它的后段截断误差：用有限过程近似无限过程的误差，也称为方法误差17例如，函数sinx和ln(1+x)可分别展开为如下的无穷幂级数：357xxxsinx=x−+−+(2.1)3!5!7!234xxxln(1+x)=x−+−+234(−1

8、是很容易估算的，因为幂级数(2.1)和(2.2)都是交错级数，当x<1时的各项的绝对值又都是递减的，因此，这时它们的截断误差R4(x)，可分别估计为：7xR(x)≤47!和4xR