华中科技大学 计算方法课件第5章 线性方程-误差分析

《华中科技大学 计算方法课件第5章 线性方程-误差分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、5.5误差分析5.5.1向量和矩阵的范数向量范数概念是三维欧氏空间中向量长度概念的推广，在数值分析中起着重要作用。x=(x,x,,x)T,y=(y,y,,y)Tn定义1设12n12n∈RnT将实数(x,y)=yx=∑xiyii=1称为向量x,y的数量积。1将非负实数11n222x2=(x,x)=∑xii=1或11n22x=(x,x)2=∑x2ii=1称为向量x的欧氏范数。2向量的欧式范数可以看成是对n中向量“大小”的一R种度量。也可以用其他办法来度量向量的“大小”。T2例如，对于x

2、=(x1,x2)∈R,可以用一个x的函数N(x)=maxxi来度量x的“大小”，而且这种度量“大i=1,2小”的方法计算起来比欧氏范数方便。一般要求度量向量“大小”的函数N(x)满足正定性、齐次性和三角不等式。3定义2(向量的范数)如果向量n(或n)的某x∈RC个实值函数N(x)=x，满足条件：1.x≥0(x=0当且仅当x=0)2.αx=α⋅x,∀α∈Rn（5.1）3.x+y≤x+yn则称N(x)是R上的一个向量范数。由(3)x=x−y+y≤x−y+y4y=y−x+x≤y−x+x从而有4.x−y≤x−y（5.2

3、）几种常用的向量范数。1.向量的∞-范数(最大范数)：x=maxx∞i1≤i≤n2.向量的1-范数：nx1=∑xii=153.向量的2-范数：1n1222x2=(x,x)=(∑xi)i=1也称为向量x的欧氏范数。4.向量的p-范数：np1/pxp=(∑xi),i=1其中p∈[1,∞)。可以证明向量函数是n上向量的范数,N(x)≡xRp且容易说明上述三种范数是p-范数的特殊情况。6T例1计算向量x=(1,−2,3)的3种常用范数。n解x1=∑xi=1+2+3=6i=1x=maxx=3∞1≤i≤nin11x=(∑

4、x2)2=(1+4+9)2=142ii=17定义3设{x(k)}为n中一向量序列，n记Rx*∈R,(k)(k)(k)(k)T***Tx=(x,x,,x),x*=(x,x,,x)12n12nlimx(k)=x*(i=1,2,,n),(k)如果ii则称x收敛于向量x*，k→∞记为(k)*limx=x.k→∞8n对于R上的任意两种范数有如下等价性定理。定理1(向量范数的等价性)设x,x为Rn上向量stn的任意两种范数，则存在正常数c2>c1，使得对任意x∈R均有cx≤x≤cx1st2s9定理2lim(k)*li

5、m(k)*0x=x⇔x−x=k→∞k→∞其中‖·‖为向量的任一种范数。证明显然，(k)(k)limx=x*⇔limx−x*=0,k→∞k→∞∞而对于n上任一种范数‖·‖，由定理1，存在常数c,c>0,R12使(k)(k)(k)cx−x*≤x−x*≤cx−x*,12∞∞于是又有(k)(k)limx−x*=0⇔limx−x*=0.k→∞∞k→∞10向量范数概念可以推广到矩阵。22视n×n中的矩阵为n中的向量，则由n上的2范数RRR可以得到n×n中矩阵的一种范数R1n22F(A)=AF=∑ai,j

6、,i,j=1称为A的Frobenius范数.A显然满足正定性、齐次性及三角不等式.F定义4(矩阵的范数)如果矩阵n×的某个非负的nA∈R实值函数N(A)=A,满足条件111.A≥0(A=0⇔Ax=0)(正定条件),（5.4）n2.cA=c⋅A,∀c∈R(齐次条件);3.A+B≤A+B(三角不等式);4.AB≤A⋅B.n×n则称N(A)是R上的一个矩阵范数。n×n上面定义的F(A)=A就是R上的一个矩阵范数.F由于在大多数与估计有关的问题中，矩阵和向量会同时参与讨论，所以希望引进一种矩阵的范数，它和向量

7、范数相联系而且和向量范数相容的。12nn×n即对任何向量x∈R及A∈R都成立Ax≤A⋅x（5.5）定理3设x是n上一个向量范数，n×nvR则Av是R上矩阵的范数，且满足相容条件Ax≤A⋅x（5.6）vvv13nn×n定理4设x∈R,A∈R，则n1.A∞=max∑aij(称为A的行范数),1≤i≤nj=1n2.A1=max∑aij(称为A的列范数),1≤j≤ni=1T3.A=λ(AA)(称为A的2−范数）.2maxTT其中λmax(AA)表示AA的最大特征值.141−2例2设A=，计算A的各种范数.

8、−34解A=max{1+−3,−2+4}=6,1A=max{1+−2,−3+4}=7,∞2222A=1+(−2)+(−3)+4≈5.477,FTA=λ(AA)=15+221≈5.46.2max155.5.2矩阵的条件数考虑线性方程组Ax=b,其中设A为非奇异矩阵，x为方程组的精确解。由于A(或b)元素是测量得到的，或者是计算的结果，在第一种情况A(或b)常带有某些观测误差。在后一种