南大数值分析课件§2.2线性方程组的误差分析

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1、§2ErrorAnalysisfor.精确解为例：§2线性方程组的误差分析/*ErrorAnalysisforLinearsystemofEquations*/求解时，A和的误差对解有何影响？设A精确，有误差　，得到的解为，即绝对误差放大因子又相对误差放大因子§2ErrorAnalysisfor.设精确，A有误差　，得到的解为，即Waitaminute…Whosaidthat(I+A1A)isinvertible?(只要A充分小，使得是关键的误差放大因子，称为A的条件数，记为cond(A),越则A越病态，难得准确解。大§2ErrorAnalysisfor.注:cond(

2、A)的具体大小与

3、

4、·

5、

6、的取法有关，但相对大小一致。cond(A)取决于A，与解题方法无关。常用条件数有：cond(A)1cond(A)cond(A)2特别地，若A对称，则条件数的性质：A可逆，则cond(A)p1；A可逆，R则cond(A)=cond(A)；A正交，则cond(A)2=1；A可逆，R正交，则cond(RA)2=cond(AR)2=cond(A)2。§2ErrorAnalysisfor.精确解为例：计算cond(A)2。A1=解：考察A的特征根39206>>1测试病态程度：给　一个扰动，其相对误差为此时精确解为2.0102>200%§2Er

7、rorAnalysisfor.例：Hilbert阵cond(H2)=27cond(H3)748cond(H6)=2.9106cond(Hn)asn注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验得出。行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；元素间相差大数量级，且无规则；主元消去过程中出现小主元；特征值相差大数量级。§2ErrorAnalysisfor.近似解的误差估计及改善：设　　的近似解为　，则一般有cond(A)误差上限改善方法：Step1:近似解Step2:Step3:Step4:若　可被精确解出，则有就是精确解了。经验表明：若A不是非常病态

8、（例如：），则如此迭代可达到机器精度；但若A病态，则此算法也不能改进。HW:p.106#19,#22,#25#27.第四章解线性方程组的迭代法/*IterativeTechniquesforSolvingLinearSystems*/求解思路与解f(x)=0的不动点迭代相似……，将等价改写为形式，建立迭代　。从初值出发，得到序列。计算精度可控，特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵/*sparsematrices*/的方程组。研究内容：如何建立迭代格式？收敛速度？向量序列的收敛条件？误差估计？§3Jacobi法和Gauss-Seidel法/*Jacobi&Gauss-SeidelI

9、terativeMethods*/JacobiIterativeMethod写成矩阵形式：A=LUDBJacobi迭代阵§3Jacobi&Gauss-SeidelIterativeMethodsAlgorithm:JacobiIterativeMethodSolvegivenaninitialapproximation.Input:thenumberofequationsandunknownsn;thematrixentriesa[][];theentriesb[];theinitialapproximationX0[];toleranceTOL;maximumnumberofit

10、erationsNmax.Output:approximatesolutionX[]oramessageoffailure.Step1Setk=1;Step2While(kNmax)dosteps3-6Step3Fori=1,…,nSet;/*computexk*/Step4IfthenOutput(X[]);STOP;/*successful*/Step5Fori=1,…,nSetX0[]=X[];/*updateX0*/Step6Setk++;Step7Output(Maximumnumberofiterationsexceeded);STOP./*unsuccessful*/

11、Whatifaii=0?迭代过程中，A的元素不改变，故可以事先调整好A使得aii0，否则A不可逆。必须等X(k)完全计算好了才能计算X(k+1)，因此需要两组向量存储。Abitwasteful,isn’tit?§3Jacobi&Gauss-SeidelIterativeMethodsGauss-SeidelIterativeMethod…………只存一组向量即可。写成矩阵形式：BGauss-Seidel迭代阵Amathematicianabouthisc