常用数值分析方法§2线性方程组的数值解法

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1、§2线性方程组的数值解法2.1概述2.2Gauus消元法2.3主元素法2.1引入主元素法的必要性2.2列主元素法2.3全主元素法2.4Jacobi迭代法2.5Gauss-Seidel迭代法2.1概述在科学研究和工程技术中所提出的计算问题中，线性方程组的求解问题是基本的，常见的，很多问题如插值函数，最小二乘数据拟合，构造求解微分方程的差分格式等，都包含了解线性方程组问题，因此，线性方程组的解法在工程计算中占有较重要的地位。设n阶线性方程组：其矩阵形式为：Ax=b(2-2)其中：求解Ax=b，曾经学过克莱姆(C

2、ramer)法则，矩阵变换法等，但已远远满足不了实际运算的需要，主要体现两个方面：一是运算的快速和准确，其次是方程组的个数增大时的计算问题。如何建立能在计算机上可以实现的有效而实用的解法，具有极其重要的意义，我们都知道，Cramer法则在理论上是绝对正确的，但当n较大时，在实际计算中却不能用。如果线性方程组Ax=b的系数行列式不为零，即det(A)0，则该方程组有唯一解。线性方程组的数值解法解线性方程组的数值方法大致分为两类：请注意：由于在计算中某些数据实际上只能用有限位小数，即不可避免地存在着舍入误差的

3、影响，因而即使是准确的直接解法，也只能求到近似解。直接法在求解中小型线性方程组（≤100个），特别是系数矩阵为稠密型时，是常用的、非常好的方法。直接法：指假设计算过程中不产生舍入误差，经过有限步四则运算可求得方程组准确解的方法。2.迭代法：从给定的方程组的一个近似值出发，构造某种算法逐步将其准确化，一般不能在有限步内得到准确解。线性方程组的直接解法2.2Gauss消元法Gauss消元法是最基本的一种方法，下例说明其基本思想:例1解线性方程组：解：消去x1，进行第一次消元：首先找乘数，以-12乘第一个方程加到

4、第二个方程，以18乘第一个方程加到第三个方程上可得同解方程组：例1（续）上述Gauss消元法的基本思想是：先逐次消去变量，将方程组化成同解的上三角形方程组，此过程称为消元过程。然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组的解，此过程称为回代过程。再消一次元得：二次消元后将方程化为倒三角形式，然后进行回代容易解出：x3=3,x2=2,x1=1。我们的目的，是要总结归纳出一般情况下的n阶线性方程组的消元公式和回代求解公式，从而得到求解n阶线性方程组的能顺利在计算机上实现的行之有效的算法。Gauss消元法的

5、基本步骤1（4阶）为能更清楚地得到算法，下面以4阶线性方程组为例总结求解步骤，并且很容易地可推广至一般的n阶线性方程组。可以检查，分别以li1乘第一个方程加到第i个方程上可以完成第一次消元，得同解方程组：变化以后的方程组系数及右边的常数项可总结出如下的计算公式：完成第一次消元之后的方程组记为：A(2)x=b(2)Gauss消元法的基本步骤1（4阶）Gauss消元法的基本步骤2（4阶）以方程组中第i个方程减去第二个方程乘li2(i=3,4)，完成第二次消元。上标为3的系数和右端项可由下面公式计算：Gauss

6、消元法的基本步骤3（4阶）第三步：消元：消x3（4阶方程组需进行3次消元）将上述A(3)X=b(3)中最后一个方程中的x3消为零：然后可回代求解：由于A(4)为上三角形，所以可按变量的逆序逐步回代求原方程组的解：上述消元、回代求解过程很容易推广到一般的n阶线性方程组。经过上述消元步骤，得到同解的上三角形方程组：A(4)x=b(4)Gauss消元法的消元过程1、2（n阶）一般地，设n阶方程组：消元过程为：将上方程组中第i个方程减去第2个方程乘以li2(i=3,…,n)，完成第二步消元。Gauss消元法的消元过

7、程3（n阶）第k步：设第k1步消元后得原方程组的同解方程组为：第k步消元后同解方程组中上标为k+1的元素的计算公式见下屏：照此消元下去，完成n1次消元后，可将原方程组化成同解的上三角形方程组如下：Gauss消元法的消元过程3（n阶）Gauss消元法的回代过程（n阶）回代过程：逐步回代求得原方程组的解：Gauss消元法的优缺点：缺点：但其计算过程中，要求akk(k)（称为主元素）均不为零，因而适用范围小，只适用于从1到n1阶顺序主子式均不为零的矩阵A，计算实践还表明，Gauss消元法的数值稳定性差，当出

8、现小主元素时，会严重影响计算结果的精度，甚至导出错误的结果。优点：Gauss消元法简单易行。2.3主元素法2.3.1引入主元素的必要性对线性方程组AX=b，若其系数行列式det(A)0，则该方程组有唯一解，但是这一条件不能保证所有主元素都不等于零，只要某一主元素等于零，就不能用Gauss消元法求解该方程组，即使所有主元素不等于零，但某一主元素的绝对值很小时，Gauss消元法也是不适用的。如下例：例2例2（续1）