资源描述：
《2线性方程组数值解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第二章线性方程组的数值解法§2.0引言在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组，例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，解非线性方程组问题，用差分法或者有限元方法解常微分方程、偏微分方程边值问题等都导致求解线性代数方程组，而这些方程组的系数矩阵大致分为两种，一种是低阶稠密矩阵(例如，阶数大约为≤150)，另一种是大型稀疏矩阵(即矩阵阶数高且零元素较多)。设有线性方程组Ax=b，其中为非奇异阵，，关于线性方程组的数值解法一般有两类：直接法与迭代法。1.直接法就是经过有限步算术运算，
2、可求得方程组精确解的方法(若计算过程中没有舍入误差)。但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。本章将阐述这类算法中最基本的高斯消去法及其某些变形。这类方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，近十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展。2.迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。迭代法具有需要计算机的存贮单元较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点，但存在收敛性及收敛速度问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组(尤其是由微分方程离散后得到的大型方程组)的重要方法。§2.1G
3、auss消去法高斯（Gauss）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元（行的初等变换），把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组（简单形式）得原方程组的解。 26 1.消元例：下面我们来讨论一般的解n阶方程组的高斯消去法。将原方程组记为A(1)x=b(1)，其中A(1)=(aij(1))=(aij)，b(1)=b(1)第一次消元。其中注：若a11(1)=0，则在第1列中至少有一个元素不为0，可交换行后再消元(2)第k次消元。其中注：为减少计算量，令，则 26 (3)当k=n
4、–1时得完成第n–1次消元后得到与原方程组等价的三角形方程组A(n)x=b(n)注：当det(A)≠0时，显然有aii(i)≠0，(i=1，…，n)，称为主元素。2.回代求解上述三角形方程组，得到求解公式注：求解过程称为回代过程。3.Gauss消去法的计算量以乘除法的次数为主(1)消元过程：第k步时(n–k)+(n–k)(n–k+1)=(n–k)(n–k+2)共有(2)回代过程：求xi中，乘n–i次，除1次，共n–i+1次（i=1，…，n–1）共有(3)总次数为注：当n=20时约为2670次，比克莱姆法则9.7´1020次大大减少。 26 4.
5、说明(1)若消元过程中出现akk(k)=0，则无法继续(2)若akk(k)≠0，但较小，则小主元做除数将产生大误差(3)每次消元都选择绝对值最大者作主元，称为高斯主元消去法(4)通常第k步选择——第k列主对角元以下元素绝对值最大者作主元（该行与第k行对调），称为列主元消去法。例1用舍入三位有效数字求解线性方程组（准确解是x1=10.0，x2=1.00）解：1)不选主元的Gauss消去法计算结果：x1=-10.0，x2=1.01，此解无效；2)按列选主元的Gauss消去法计算结果：x1=10.0，x2=1.00.(5)行标度化当线性方程组的系数矩阵的元素大小
6、相差很大时，则可能引进因丢失有效数字而产生的误差，并且舍入误差的影响严重，即使用Gauss主元消去法得到的解也不可靠．为避免这一问题，可将系数矩阵的行元素按比例增减以使元素的变化减小．例如，用每行元素的最大模除该行各元素，使它们的模都不大于1，这叫行标度化，标度化的目的是要找到真正的主元．消元过程仍是对原方程组进行的，只不过在Gauss列主元消去法的算法中，按列选主元ck时，应修改为其中5.算法设计高斯消去法a=[5-1-1-1-4;-110-1-112;-1-15-18;-1-1-11034];x=[0;0;0;0]n=4fork=1:3fori=k+1
7、:na(i,:)=a(i,:)-a(k,:)*a(i,k)/a(k,k) 26 endendforj=n:-1:1x(j)=(a(j,n+1)-a(j,j+1:n)*x(j+1:n))/a(j,j)end列主元素消去法a=[-0.040.040.123;0.56-1.560.321;-0.241.24-0.280];x=[0;0;0]n=3;fork=1:n-1[c,i]=max(abs(a(k:n,k)));q=i+k-1ifq~=km=a(q,:);a(q,:)=a(k,:);a(k,:)=mendfori=k+1:na(i,:)=a(i,
8、:)-a(k,:)*a(i,k)/a(k,k)endendforj
