数值计算08-线性方程组数值解法.pdf

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1、数值计算第八章线性方程组的数值解法第八章线性方程组的数值解法Page2•问题的提出：n阶线性代数方程组的一般形式为：axaxaxb11112x1nn1a21x1a22xxa2nxnb2axaxaxbn11n2xnnnn写成矩阵-向量形式Axb其中A为系数矩阵，x为解向量，b为右端常向量。Page3a11a1nx1b1Axban1annxbnn若矩阵A非奇异，即A的行列式detA0，根据克莱姆（Gramer）法则，方程组有唯一解：Dixi1,2,,niD其

2、中D表示detA，Di表示D中第i列换成b后所得的行列式。Page4当阶数较高时用这种方法求解是不现实的。n阶行列式有n!项，每项又是n个数的乘积。对较大的n，其计算量之大，是一般计算机难以完成的。而且，这时的舍入误差对计算结果的影响也较大。例如，求解一个20阶线性方程组，用加减消元法需3000次乘法运算，而用克莱姆法则要进行20次9.710运算，如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。Page5线性代数方程组的计算机解法常用方法：消去法直接法矩阵三角分解法迭代法Page6直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差）迭代法：用某种极限过

3、程去逐步逼近线性方程组精确解的方法迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收敛性及收敛速度等问题8.1消去法Page7消去法在线性代数中已有详细的讨论，在此只给出一些说明以及算法的具体描述。消去法的基本思想：是通过将一个方程乘或除以某个常数，以及将两个方程相加减，逐步减少方程中的变元数，最终使每个方程只含一个变元，从而得出所求的解。高斯消去法消去法常用方法：选主元消去法高斯－约旦消去法Page88.1.1高斯消去法——按自然顺序进行的消元法高斯消去法属于直接法，一般由“消元过程”和“回代过程”两部分组成。先举几个简单实例，再对一般n阶方程组说明高

4、斯消去法的基本思想。例1用高斯消元法求解方程组Page92x18x22x314x16x2x3132x1x22x35解用第一个方程削去后两个方程中的x1,得2x18x22x3142x22x369x29再用第2个方程消去第3个方程中的x2,得2x18x22x3142x22x369x318Page10最后，经过回代求得原方程组的解为18x23962x3x122148x2x23x512例2解方程组2x1x2x374x15x2x311x12x2x30解：消元Page11

5、211742117r1r2451112033312101r1r302.50.53.5221172.5rr23033330026633x3回代得x33,x22,237xx23x112消去法Page12下面讨论一般n阶线性方程组的高斯消去法。AxbA1xb11b1记为，A和的元素a11分别记为ij和bi，i,j1,2,,n，系数上标1代表第1次消元之前的状态。1a0第1次消元时，设111ai1对每行计算乘

6、数mi11,i2,3,,na11Page13用mi1乘以第1个方程，加到第i个方程，消去第2个方程到第n个方程的未知数x，得22Axb1即:111x1a11a12a1n1b1222a22a2nx2b2222an2annxnbn211aamaijiji11j其中：211i,j2,3,,nbbmbiii11Page14第k次消元2kn1时，设第k1次消元已完成，即有Akxbk

7、其中：1111baaa111121n2a2a2a2b222232nbkAkkakakbkkkknbkkknankannkaikkm,ik1,,n设a0，计算乘数ikkkkakk只要ak0，消元过程就可以进行下去，直到经Page15kk