数值计算方法第3章解线性方程组的数值解法

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1、第3章解线性方程组的数值解法1引言在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组。例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，解非线性方程组问题，用差分法或者有限元法解常微分方程，偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组，而且后面几种情况常常归结为求解大型线性方程组。线性代数方面的计算方法就是研究求解线性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特征向量的数值方法。2引言关于线性方程组的数值解法一般有两类。直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差）迭代法：用某种极限过程去逐

2、步逼近线性方程组精确解的方法迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收敛性及收敛速度等问题。33.1高斯消元法设线性方程组简记AX=b4高斯消元法其中5高斯消元法克莱姆法则在理论上有着重大意义，但在实际应用中存在很大的困难，在线性代数中，为解决这一困难给出了高斯消元法。6高斯消元法例1.用消元法解方程组7例题第一步：-2xr1+r3得8例题第二步：1xr2+r4回代得：x=[1,2,3]T93.1.1高斯顺序消元法下三角形方程求解设（1）10高斯顺序消元法由（1）得11高斯顺序消元法算法：12高斯顺序消元法13上三角方程组的解法设14由（2）式

3、回代得15上三角方程组的解法16高斯顺序消去法设Ax=b.记A(1)=Ab(1)=b。设1、第一次消元。17高斯顺序消去法18高斯顺序消去法设第k-1次消元得A(k)x=b(k)其中19高斯顺序消去法则第k次消元:20高斯顺序消去法最后21高斯顺序消去法也就是对于方程组AX=b系数矩阵做：22高斯顺序消去法23高斯顺序消去法24高斯顺序消去法25高斯顺序消去法26高斯顺序消去法算法框图27高斯消去法的计算量28高斯顺序消去法条件293.1.2高斯主元素消去法Gauss列主元消元法从第一列中选出绝对值最大的元素交换30高斯列主元消去法31高斯列主元消去法第k步从的第k列，，中选取绝对值

4、最大项，记录所在行，即若交换第k行与l行的所有对应元素，再进行顺序消元。32框图33高斯列主元消去法34高斯列主元消去法35高斯列主元消去法362.全主元消去法例如.求解方程组37全主元消去法38全主元消去法39全主元消去法40全主元消去法41全主元消去法42全主元消去法4344Gauss全主元消元算法45Gauss全主元消元算法46Gauss全主元消元算法473.高斯-约当消去法与一般消去法相比，高斯—约当消去法是一种无回代过程的算法设方程组AX=b经过（k-1）次消元得48高斯-约当消去法49算法50选列主元的Gauss-Jordan消去法51Guass-Jordan消去法形式上

5、比Guass消去法简单,求解无回代过程,但从工作量角度看前者大约需要O(),而后者需要量O(),比有回代的Guass消去法多O()工作量.52小节比较而言,Gauss顺序消去法条件苛刻,且数值不稳定;Gauss全主元消去法工作量偏大，需要比较个元素及行列交换工作，算法复杂；对于Gauss-Jordan消去法形式上比其他消元法简单，且无回代求解，但计算量大,比Gauss顺序消去法多计算量。因此从算法优化的角度考虑，Gauss列主元消去法比较好。53