数值计算方法课件 第3章 线性方程组的解法.ppt

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1、第3章线性方程组的解法3.1问题综述在自然科学与社会科学的研究中，常常需要求解线性代数方程组，这些方程组的系数矩阵大致分为两种：一种是低阶稠密矩阵（例如：阶数大约为小于等于150），另一种是大型稀疏矩阵（即矩阵阶数高且零元素较多）。在计算机上求解线性代数方程组Ax=b的常用的数值解法：1、直接法：就是经过有限次算术运算，可求得方程组精确解的方法（若计算过程中没有舍入误差）。但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。这类方法是解低阶稠密矩阵及大型带状方程组的有效方法。2、迭代法：就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解

2、的方法，迭代法具有需要计算机的存贮单元较少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算机中始终不变等优点，但存在收敛性和收敛速度等问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的重要方法。注:直接法求解n元线性代数方程组所需乘法次数1、Cramer（克莱姆）法则：(n+1)！，当n=10时，(n+1)!=39916800次2、Gauss消去法：当n=10时，约为430次3.2线性方程组的直接解法n元线性方程组简记为设A非奇异，则方程组有唯一解。方程组的矩阵形式Gauss消去法高斯消去法步骤：(1)首先将增广阵[A,b]化为上三角阵；(2)用三角方程组，回代求解。Gauss消

3、去法是一个古老的求解线性代数方程组的方法（早在公元前250年我国就掌握了解三元一次联立方程组的方法）。但由于它改进、变形得到的主元素消去法、三角分解法仍然是目前计算机上常用的有效方法。例1用消去法解方程组(1)(2)(3)用一个简单的例子说明消去法的基本思想。解(1)化上三角方程组①②③①②④③+(-2)×①④+②①②⑤①②⑤(2)回代过程.得到下同解方程组后,如下处理从下向上逐步求解把x3的值代入②求x2用x3,x2的值求x1对应的增广矩阵的变化(-2)×r1+r3→r3r2+r3→r31.基本思想将原方程组逐次消去未知元，变为与之同解的上三角方程组，

4、再回代求解。用矩阵语言叙述，上述过程是使用初等行变换把增广阵约化为上三角阵，使用上三角方程组，回代求解。2.算法构造用行变换根据下面的上三角方程组,逐次回代求解xk22n-1,n-1消元过程回代过程定义：在使用高斯消去法的过程中，仅对方程组做倍加变换，就形成了顺序高斯消去法。顺序高斯消去法求解n元线性方程组的乘除运算总次数为：顺序高斯消去法计算过程中出现的称为主元素.出现，消元过程就进行不下去了。定理:顺序高斯消去法的前n-1个主元素均不为零的充要条件是方程组的系数矩阵A的前n-1个顺序主子式顺序Gauss消去法计算过程中的akk(k)称为主元素，在第k

5、步消元时要用它作除数,则可能会出现以下几种情况1、若出现akk(k)＝0，消元过程就不能进行下去。2、akk(k)≠0，消去过程能够进行，但若

6、akk(k)

7、过小，也会造成舍入误差积累很大导致计算解的精度下降。顺序高斯消去法的数值稳定性是没有保证的!顺序主元素消去法可能计算失败之例例：单精度解方程组/*精确解为和*/8个8个用顺序主元素消去法计算：8个小主元/*Smallpivotelement*/可能导致计算失败。例：在四位十进制的限制下，试用顺序Gauss消去法求解如下方程组此方程组具有四位有效数字的精确解为x1＝17.46，x2＝－45.76，x

8、3＝5.546解用顺序Gauss消去法求解，消元过程如下经回代求解得x3＝5.546，x2＝100.0，x1＝－104.0和此方程组的精确解相比x3＝5.546，x2＝－45.76，x1＝17.46有较大的误差。对于此例，由于顺序Gauss消去法中的主元素绝对值非常小，使消元乘数绝对值非常大，计算过程中出现大数吃掉小数现象，产生较大的舍入误差，最终导致计算解x1＝－104.0和x2＝100.0已完全失真。为避免这种现象发生，可以对原方程组作等价变换，再利用顺序Gauss消去法求解。写出原方程组的增广矩阵：针对第一列找出绝对值最大的元素，进行等价变换：求得

9、方程的解为：x3＝5.546，x2＝－45.76，x1＝17.46精确解为：x3＝5.546，x2＝－45.76，x1＝17.46由此可见，第二种Gauss消去法的精度明显高于顺序Gauss消去法，我们称它为列主元Gauss消去法。列主元Gauss消去法与顺序Gauss消去法的不同之处在于：后者是按自然顺序取主元素进行消元前者在每步消元之前先选取主元素然后再进行消元3.列主元高斯消去法定义使用高斯消去法的过程中，在第k次消元前，先对第k个增广阵[A(k),b(k)]做交换二行的变换，把中绝对值最大的元素换到(k,k)位置，再消元。此方法叫列主元素高斯消

10、去法。1.消元过程对于k=1,2,…,n-1执行(1)选行号ik，使(2)交换第