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1、第2章线性方程组的 数值解法天津大学理学院数学系刘东毅2021/9/141线性方程组的数值解法第2章线性方程组的数值解法主要目的：掌握线性方程组的数值解法2021/9/142线性方程组的数值解法主要内容：直接法Gauss消去法直接三角分解法：追赶法，平方根法等方程组的性态与误差分析迭代法Jacobi，Gauss-Seidel，SOR迭代法迭代法的收敛性分析2021/9/143线性方程组的数值解法2.1Gauss消去法Gauss消去法是计算机上常用的解线性方程组的有效方法。此方法分为消元过程-把原方程组化为上三
2、角形方程组的过程。回代过程-求解上三角形方程组的过程。其他的衍生方法Gauss-Jordan消去法Gauss主元素法列主元素法全主元素法2021/9/144线性方程组的数值解法2.1.1Gauss消去法设有线性方程组Ax=b,(2.1.1)其中A=(ai,j)n×n非奇异，x=(x1,x2,…,xn)T,b=(b1,b2,…,bn)T为方便起见，将(2.1.1)记为A(1)x=b(1),(2.1.2)即2021/9/145线性方程组的数值解法设记乘数以-li1乘(2.1.2)的第一个方程,加到第i(i=2,3
3、,…,n)个方程上去,(2.1.3)其中：第一次消元：(2.1.2)得A(2)x=b(2),即2021/9/146线性方程组的数值解法设记乘数以-li2乘(2.1.3)的第二个方程,然后加到第i个(i=3,4,…,n)方程上去,其中：第二次消元：(2.1.3)得A(3)x=b(3),即2021/9/147线性方程组的数值解法设第k-1次消元后的等价方程组A(k)x=b(k)Goto列主元素法2021/9/148线性方程组的数值解法第k次消元：设记乘数以-lik乘(2.1.5)的第k个方程,然后加到第i(i=k
4、+1,…,n)个方程上,得到与(2.1.1)等价方程组A(k+1)x=b(k+1),即2021/9/149线性方程组的数值解法第k次消元后的等价方程组A(k+1)x=b(k+1)其中A(k+1)与b(k+1)中的元素的计算公式为：2021/9/1410线性方程组的数值解法第n-1次消元得到的等价上三角形方程组A(n)x=b(n)分别求得xn,xn-1,…,x2,x1,其计算公式如下：回代过程消元与回代过程合起来称为Gauss消去法的全过程,它大概需要n3/3次乘除法.2021/9/1411线性方程组的数值解法
5、例1.用Guass消去法解线性方程组：解：为了书写方便，写出此方程组的增广矩阵，并用矩阵变换来描述消元过程。2021/9/1412线性方程组的数值解法消元过程如下：l21=2l31=-1l32=1/3写成与原方程组等价的线性方程组为2021/9/1413线性方程组的数值解法等价的线性方程组为回代求得原方程组的解为2021/9/1414线性方程组的数值解法若n阶矩阵A=A(1)的第一阶至第k阶顺序主子式均不为零，即定理2.1.1则反之亦真。否则将溢出停机.那么系数矩阵A满足什么条件才会使这些元素全不为零呢？通过
6、前面的讨论可知，Gauss消去法要求主元素此定理利用归纳法很容易证明。P172021/9/1415线性方程组的数值解法由于Guass-Jordan消去法在线性代数中已经讨论过，并且与前面讨论的Guass消去法相类似，故这里只用一个示例来简述一下。2.1.2Guass-Jordan消去法用Guass-Jordan法解方程组：2021/9/1416线性方程组的数值解法l13=2/3l23=-5/3l21=2l31=-1l12=1l32=-1用Guass-Jordan法解方程组：得方程组的解为(1,2,0)T202
7、1/9/1417线性方程组的数值解法Gauss消去法的缺点：(1)则消元不能进行。(2)若但与比较,其绝对值甚小（小主元）,此时消元乘数lik的绝对值很大，势必造成误差的严重扩散，使得计算结果失真。在此我们举一个例子：2021/9/1418线性方程组的数值解法例2.1.3.用Guass消去法解下列方程组（采用三位十进制浮点运算）解：记增广矩阵为，采用三位十进制浮点运算，消元过程用矩阵变换表示如下：该方程组的精确解为：2021/9/1419线性方程组的数值解法回代后求得与精确解相差较大，原因在于两次消元过程中均
8、使用了小主元的结果。精确解下面详细分析第二次消元2021/9/1420线性方程组的数值解法详细分析第二次消元如果精确计算，消元后方程组变成最后一个方程x3的系数为-1224.5，常数项为-2459.但由于计算精度的限制，1224.5只能取1.22×103，2459只能取2.46×103。消元后最后一个方程变成这样不是精确值2。2021/9/1421线性方程组的数值解法2.1.3Gauss主元素法Ho
