线性方程组的数值解法.ppt

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1、第二章线性方程组的数值解法线性方程组对于线性方程组Ax=b,其中若系数阵A非奇异，则方程组有唯一解.计算机上求解线性方程组的有效数值方法直接法直接解法是解线性方程组的重要方法.它是指通过有限步的算术运算求出精确解的方法（若计算过程没有舍入误差）.其基本思想是通过等价变换将线性方程组化为结构简单、易于求解的形式，从而求解.迭代法迭代法的基本思想是用某种极限过程逐次逼近方程组的解的方法，是解线性方程组的重要方法.它具有占有储存单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变的优点，但需考虑收敛性和收敛速度问题.§2.1向量、矩阵的范数向量的范数设Rn为实n维向量空

2、间,Cn为复n维向量空间,记Kn为Rn或Cn,K为实数域R或复数域C.定义若Kn上任一向量x，对应一个非负实数x，满足如下条件（Ⅰ）非负性：

3、

4、x

5、

6、0且

7、

8、x

9、

10、=0x=0（Ⅱ）齐次性：

11、

12、x

13、

14、=

15、

16、

17、

18、x

19、

20、(K)（Ⅲ）三角不等式

21、

22、x+y

23、

24、

25、

26、x

27、

28、+

29、

30、y

31、

32、(x,yKn)则称x为向量x的一种范数.常用的向量范数设x=(x1,x2,,xn)，1-范数：2-范数：-范数：p-范数矩阵的范数记Knn为Rnn或Cnn定义若Knn上任一矩阵A=(aij)nn,对应一个非负实数A，满足以下条件:（Ⅰ

33、）非负性：

34、

35、A

36、

37、0且

38、

39、A

40、

41、=0A=0（Ⅱ）齐次性：

42、

43、A

44、

45、=

46、

47、

48、

49、A

50、

51、(K)（Ⅲ）三角不等式：

52、

53、A+B

54、

55、

56、

57、A

58、

59、+

60、

61、B

62、

63、(A,BKnn)（Ⅳ）

64、

65、AB

66、

67、

68、

69、A

70、

71、

72、

73、B

74、

75、(A,BKnn)则称A为矩阵A的一种范数.例对于实矩阵A=(aij)nn是一种矩阵范数,称为矩阵的Frobenius范数，简称矩阵的F范数.考虑到矩阵范数总是与向量范数联系在一起的.定义对于给定向量范数和矩阵范数，如果对任何向量xKn和AKnn,都有不等式AxAx成立，则

76、称所给的矩阵范数与向量范数是相容的.下面给出一种定义矩阵范数的方法，它是由向量范数诱导出来的相容范数.定义设xKn和AKnn，且给定一种向量范数，称或为矩阵A的由向量范数x产生的从属范数或算子范数.单位矩阵的任一种从属范数都为1.由向量1-范数,2-范数,-范数产生的从属范数分别为定理设n阶方阵A，则1-范数：2-范数：，AH是A的共轭转置-范数：矩阵的谱半径定义设n阶方阵A的特征值为1,2,,n，则称为A的谱半径（i为i的模）.对于任意从属范数，(A)

77、

78、A

79、

80、但当A是正规矩阵，即AAH=AHA时，(

81、A)=

82、

83、A

84、

85、2显然若A为实对称矩阵，则(A)=

86、

87、A

88、

89、2范数的有关定理定理2.1(范数连续性定理)设f(x)=

90、

91、x

92、

93、为Rn上任一向量范数,则f(x)是x的连续函数.定理2.2(范数等价性定理)设

94、

95、x

96、

97、s,

98、

99、x

100、

101、t为Rn上任意两种向量范数,则存在常数c1,c2>0，使得c1

102、

103、x

104、

105、s

106、

107、x

108、

109、tc2

110、

111、x

112、

113、s，xRn定理2.3向量序列{xk}收敛于x*的充分且必要条件是

114、

115、xk-x*

116、

117、0,k其中是任一向量范数.矩阵范数也有相应上述三个定理的结论例x=(3,-1,5,8),求解例计算方阵的各种常用范数解AHA的特征

118、方程为(-1)(-8)(-32)=0所以(AHA)=32从而矩阵的条件数设A为非奇异矩阵，称数为矩阵A的条件数.条件数与所取范数有关,因此有时详细记为解线性方程组的直接法§2.2消去法Gauss消去法思想：Ax=bBx=d(其中B是上三角阵)求解Bx=dGauss消去法包括消元过程和回代过程两个环节（一）消元过程对k=1,2,,(n-1)，依次计算（二）回代过程选列主元的Gauss消去法Gauss消去法能够进行到底的条件是各步的主元素.另外既使主元素不为零，但如果主元素的绝对值很小，用它作除数，势必造成舍入误差的严重扩散,以致于方程组的解的精度受到严

119、重影响,为此引入选主元的方法，选列主元的具体方法如下：对方程组Ax=b仍按x1,x2,…的顺序依次消元，只是在每一步消元前都增加一步按列选主元的工作，如第k步消元前，就所有，取绝对值最大者，设,将第l个方程与第k个方程互换位置，这样成为第k步的主元素，然后进行第k步消元.每步消元都如此，最后再进行回代过程，得出方程组的解.全选主元的Gauss消去法对方程组Ax=b仍按x1,x2,…的顺序依次消元，只是在每一步消元前都增加一步全选主元的工作，如第k步消元前，就所有，取绝对值最大者，设，将第l个方程与第k个方程互换位置，变元xs,xj互换位置，这样成为第k步的主元素

120、，然后进行第k步消元.每