非线性方程组的数值解法.ppt

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1、非线性方程组的数值解法邹昌文主要内容解非线方程组的牛顿迭代法解非线方程组的最速下降法解非线方程组的牛顿迭代法不失一般性，以下以二阶方程组为例，对于一般情形可以类推考虑如下非线性方程组：---------（1）牛顿迭代法的基本思想非线性问题的线性化设(x0,y0)为方程组（1）的一组初始近似值，将f1(x,y)和f2(x,y)都在(x0,y0)附近用二元Taylor展开取其线性部分得原方程组的近似解线性方程组若系数矩阵的行列式则方程组的解为：从n到n+1的迭代格式为：其中例：设用牛顿法求在(x0,y0)=(1,1)附近的解解：先计算偏微商矩阵再从(x1,y1)出发算出如此继续

2、迭代下去，直到满足条件：解非线方程组的最速下降法问题的转化构造如下函数：则的零极小值点即为方程组（1）的解，反之亦然因此，求解非线性方程组（1）可转化为求解下述无约束最优化问题…..(2)最速下降法的基本思想从问题（2）的某近似解(x0,y0)出发，沿使函数(x,y)下降最快的方向，寻找新的近似解(x1,y1)，这样一步步逼近问题（2）的解xy(a,b,0)(x0,y0,0)(x0,y0)OOxy等高线(a,b)(x1,y1)最速下降方向的确定在某点处等高线的法向即(x,y)在该点处的梯度方向是使上升最快的方向，其反方向-G必是使下降最快的方向设(x0,y0)

3、是解的一个近似值，此点的梯度值为其中适当步长的选取引入参数，步长，设新得到的点为考虑如何选择，以使得新的点(x1,y1)是在方向-G0上的相对极小值，即再从新的近似值(x1,y1)出发，重复上述过程，不断进行，直到降到充分小时为止小结最速下降法的计算步骤为：例：用最速下降法解非线性方程组解：令取初始值为(1,1)，则完