非线性方程及方程组的数值解法.ppt

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1、第四章非线性方程和非性方程组的解法4.1非线性方程的解法4.2非线性方程组的线性化解法4.3非线性方程组的极值求解法4.4最速下降法4.5共轭梯度法4.6牛顿过程及变度量法4.7直接法4.8方法的选择与总结浙江大学研究生学位课程1《实用数值计算方法》１.非线性方程的解法２.非线性方程组的线性化解法－－牛顿迭代法３.非线性方程组的极值求解法－－最速下降法　

2、单纯形法－－共轭梯度法　

3、Powell方法－－变尺度法

4、（可变矩阵方法）

5、直接法DFP方法

6、浙江大学研究生学位课程2《实用数值计算方法》４.1引言在科学研究中，常常会遇到非线性方程或非线性方程组的问题。例如解方程或一般的，

7、我们记非线性方程为浙江大学研究生学位课程3《实用数值计算方法》4.1非线性方程组的一般形式是：其中fi（i=1,2,…,n）是n维实空间Ｒn上的实值函数。用向量形式表示：这里　　　　　均是n维向量。为了方便计，还是用分别表示上述向量。简记为：浙江大学研究生学位课程4《实用数值计算方法》4.1cadcadb图4.1非线性方程求根示意图浙江大学研究生学位课程5《实用数值计算方法》4.1方程的解亦称方程的根或函数的零点。根可能是实数或复数。若　　　　　　　　　　则　称为单根；若而　　　　　，则　称为k重根。常见的求解问题有两种：(1)要求定出在给定范围内的某个解。(2)要求

8、定出在给定范围内的全部解。非线性问题，除少数情况外，一般不能不利用公式求解。而要采用某种迭代解法。即构造出一近似值序列逼近真解。浙江大学研究生学位课程6《实用数值计算方法》4.1迭代过程的收敛性一般与初值的选取和方程的性态有关，某些解法仅与初值有关。收敛速度一般由迭代方法所决定，方程的性态也会起一些作用。本章主要介绍非线性方程组的解法，而方程的解法用较少的篇幅在4.2中扼要介绍。解非线性方程和方程组有很大区别。后者要困难得多。主要的区别在于一维情形可以找到一个根的范围，然后缩小，最终找到根。而多维情况则很难确定根的存在。直到你求得它的解。浙江大学研究生学位课程7《实用

9、数值计算方法》4.2非线性方程的解法4.2.1二分法对于连续函数　　，如果在和　　　处异号：则　　在　　内至少有一个根。浙江大学研究生学位课程8《实用数值计算方法》4.2.1用图来表示这个过程：０yxababab确定根所在的范围［a,b］对有的函数也是一件困难的事。所幸的是，在实际应用中，根据其物理或工程的背景，在绝大部分场合是不困难的。对给定的函数也有确定范围的方法。图4.2二分法方程求根浙江大学研究生学位课程9《实用数值计算方法》abbax1x1x2x3dcfc4.2.1图4.3寻找隔根区间示意1浙江大学研究生学位课程10《实用数值计算方法》acb4.2.1图4.4寻找

10、隔根区间示意2图4.5寻找隔根区间示意3浙江大学研究生学位课程11《实用数值计算方法》例如，在［a,b］之间寻找f(x)可能有的根可以用等分试探法：ab4.2.1图4.6等分试探法寻找隔根区间示意浙江大学研究生学位课程12《实用数值计算方法》用二分法求函数FUNC位于（x1,x2）之间的根，准确性为XACC。FUNCTIONRTBIS(FUNC,X1,X2,XACC)PARAMETER(JMAX=40)FMID=FUNC(X2)F=FUNC(X1)IF(F*FMID.GE.0.)PAUSE'函数FUNC在x1,x2处不异号'IF(F.LT.0.)THENRTIBIS=X1

11、DX=X2-X1ELSERTBIS=X2DX=X1-X2ENDIFDO11J=1,JMAXDX=DX*0.5XMID=RTBIS+DXFMID=FUNC(XMID)IF(FMID.LE.0.)RTBIS=XMIDIF(ABS(DX).LT.XACC.OR.FMID.EQ.0.)RETURN11CONTINUEPAUSE'迭代次数越界'END4.2.1浙江大学研究生学位课程13《实用数值计算方法》FUNCTIONFF(X)FF=X*X+2.5*X+0.5+SIN(X)ENDPROGRAMROOTFINDEXTERNALFFX1=-1.0X2=0.0ROOT=RTBIS(FF,

12、X1,X2,1.0E-5)PRINT*,'方程在（-1，0）区间内有一个根，X=',ROOTSTOPEND4.2.1浙江大学研究生学位课程14《实用数值计算方法》4.2.2线性插值法（又称弦位法）xf(x)图4.7SecantMethod浙江大学研究生学位课程15《实用数值计算方法》4.2.2浙江大学研究生学位课程16《实用数值计算方法》4.2.2浙江大学研究生学位课程17《实用数值计算方法》4.2.2f(x)x1432图4.8线性插值法求根示意浙江大学研究生学位课程18《实用数值计算方法》4.2.2f(x)x13