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时间:2020-09-14
《非线性方程及方程组的数值解法.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章非线性方程和非性方程组的解法4.1非线性方程的解法4.2非线性方程组的线性化解法4.3非线性方程组的极值求解法4.4最速下降法4.5共轭梯度法4.6牛顿过程及变度量法4.7直接法4.8方法的选择与总结浙江大学研究生学位课程1《实用数值计算方法》1.非线性方程的解法2.非线性方程组的线性化解法--牛顿迭代法3.非线性方程组的极值求解法--最速下降法
2、单纯形法--共轭梯度法
3、Powell方法--变尺度法
4、(可变矩阵方法)
5、直接法DFP方法
6、浙江大学研究生学位课程2《实用数值计算方法》4.1引言在科学研究中,常常会遇到非线性方程或非线性方程组的问题。例如解方程或一般的,
7、我们记非线性方程为浙江大学研究生学位课程3《实用数值计算方法》4.1非线性方程组的一般形式是:其中fi(i=1,2,…,n)是n维实空间Rn上的实值函数。用向量形式表示:这里 均是n维向量。为了方便计,还是用分别表示上述向量。简记为:浙江大学研究生学位课程4《实用数值计算方法》4.1cadcadb图4.1非线性方程求根示意图浙江大学研究生学位课程5《实用数值计算方法》4.1方程的解亦称方程的根或函数的零点。根可能是实数或复数。若 则 称为单根;若而 ,则 称为k重根。常见的求解问题有两种:(1)要求定出在给定范围内的某个解。(2)要求
8、定出在给定范围内的全部解。非线性问题,除少数情况外,一般不能不利用公式求解。而要采用某种迭代解法。即构造出一近似值序列逼近真解。浙江大学研究生学位课程6《实用数值计算方法》4.1迭代过程的收敛性一般与初值的选取和方程的性态有关,某些解法仅与初值有关。收敛速度一般由迭代方法所决定,方程的性态也会起一些作用。本章主要介绍非线性方程组的解法,而方程的解法用较少的篇幅在4.2中扼要介绍。解非线性方程和方程组有很大区别。后者要困难得多。主要的区别在于一维情形可以找到一个根的范围,然后缩小,最终找到根。而多维情况则很难确定根的存在。直到你求得它的解。浙江大学研究生学位课程7《实用
9、数值计算方法》4.2非线性方程的解法4.2.1二分法对于连续函数 ,如果在和 处异号:则 在 内至少有一个根。浙江大学研究生学位课程8《实用数值计算方法》4.2.1用图来表示这个过程:0yxababab确定根所在的范围[a,b]对有的函数也是一件困难的事。所幸的是,在实际应用中,根据其物理或工程的背景,在绝大部分场合是不困难的。对给定的函数也有确定范围的方法。图4.2二分法方程求根浙江大学研究生学位课程9《实用数值计算方法》abbax1x1x2x3dcfc4.2.1图4.3寻找隔根区间示意1浙江大学研究生学位课程10《实用数值计算方法》acb4.2.1图4.4寻找
10、隔根区间示意2图4.5寻找隔根区间示意3浙江大学研究生学位课程11《实用数值计算方法》例如,在[a,b]之间寻找f(x)可能有的根可以用等分试探法:ab4.2.1图4.6等分试探法寻找隔根区间示意浙江大学研究生学位课程12《实用数值计算方法》用二分法求函数FUNC位于(x1,x2)之间的根,准确性为XACC。FUNCTIONRTBIS(FUNC,X1,X2,XACC)PARAMETER(JMAX=40)FMID=FUNC(X2)F=FUNC(X1)IF(F*FMID.GE.0.)PAUSE'函数FUNC在x1,x2处不异号'IF(F.LT.0.)THENRTIBIS=X1
11、DX=X2-X1ELSERTBIS=X2DX=X1-X2ENDIFDO11J=1,JMAXDX=DX*0.5XMID=RTBIS+DXFMID=FUNC(XMID)IF(FMID.LE.0.)RTBIS=XMIDIF(ABS(DX).LT.XACC.OR.FMID.EQ.0.)RETURN11CONTINUEPAUSE'迭代次数越界'END4.2.1浙江大学研究生学位课程13《实用数值计算方法》FUNCTIONFF(X)FF=X*X+2.5*X+0.5+SIN(X)ENDPROGRAMROOTFINDEXTERNALFFX1=-1.0X2=0.0ROOT=RTBIS(FF,
12、X1,X2,1.0E-5)PRINT*,'方程在(-1,0)区间内有一个根,X=',ROOTSTOPEND4.2.1浙江大学研究生学位课程14《实用数值计算方法》4.2.2线性插值法(又称弦位法)xf(x)图4.7SecantMethod浙江大学研究生学位课程15《实用数值计算方法》4.2.2浙江大学研究生学位课程16《实用数值计算方法》4.2.2浙江大学研究生学位课程17《实用数值计算方法》4.2.2f(x)x1432图4.8线性插值法求根示意浙江大学研究生学位课程18《实用数值计算方法》4.2.2f(x)x13
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