数值分析课件 Chapter 6线性方程组的迭代解法.ppt

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1、第六章线性方程组的迭代解法/*IterativeMethodforSolvingLinearAlgebraicSystems*/求解迭代法从一个初始向量出发,按照一定的递推格式,产生逼近方程组的近似解序列。迭代法是一种逐次逼近的方法,与直接法比较,具有:程序简单,存储量小的优点。特别适用于求解系数矩阵为大型稀疏矩阵/*sparsematrix*/的方程组。思路与解f(x)=0的不动点迭代相似，将方程组等价改写成形式，从而建立迭代格式，从出发，生成迭代序列§6.1Jacobi和Gauss-Seidel迭代法一、Ja

2、cobi迭代法设方程组令其中如果则原方程组可化为其中Jacobi迭代格式J迭代法的分量形式二、Gauss-Seidel迭代法G-S迭代法是J迭代法的一种改进在J迭代公式中，计算时，利用已经算出来的新的值，从而得到G-S迭代法。G-S迭代法的迭代矩阵：由迭代公式迭代矩阵G-S迭代法的分量形式：例1：利用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组解：J迭代格式G-S迭代格式取初值J迭代法要求精度迭代次数方程组的近似解0.0019(1.00025071.00006941.0002507)0.000110

3、(0.99995411.00012530.9999541)0.0000114(0.99999811.00000200.9999981)G-S迭代法要求精度迭代次数方程组的近似解0.0015(0.99979160.99984791.0000664)0.00017(0.99999290.99999491.0000022)0.000018(1.00000131.00000090.9999996)取初值§6.2Jacobi和Gauss-Seidel迭代法的收敛性分析收敛的充要条件与误差估计上述两种方法都可以写成如下迭代形

4、式：称为单步定常线性迭代法，为迭代矩阵，为常数项。当迭代公式产生的序列收敛到向量，即，则称该迭代法收敛，否则为发散。？（相容性）如果方程组与等价，即存在可逆矩阵，使得则称迭代法与已知方程组是相容的。Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：迭代法收敛的充要条件是证明：设为方程组的解，设迭代法收敛，则有由相容性知，求解方程组的单步线性定常迭代法收敛的充要条件是。（1）迭代法是否收敛取决于迭代矩阵的谱半径，与初始向量和常数项无关。（2）而对于同一个方程组，不同的迭代法对应的迭代矩阵的谱半径一般不会相同，因而收

5、敛性也不同。上述定理说明：例2：说明用J法和G-S法求解下列方程组的收敛性：解：计算特征值：J法不收敛G-S法的迭代矩阵为G-S法收敛若迭代矩阵的范数，并假定的第k次迭代向量与精确解的误差满足：，则迭代法证明：代入前述不等式即得。利用矩阵的范数判定迭代收敛只是一个充分条件，通常采用矩阵的1-范数、-范数来判定。若迭代矩阵的范数，并假定的第k次迭代向量与精确解的误差满足：范数满足，则迭代法证明：两边取范数即得。用于判断迭代是否停止设为Jacobi法的迭代矩阵，若则Gauss-Seidel迭代收敛，而且有估计式其中且有

6、，这里是矩阵的元素。证明：首先证明记则有注意到其次证明Gauss-Seidel迭代收敛，即设为的任意特征值，相应的特征向量为，且假定则有注意到则前述关系式的第i个方程为两边取模运算得最后证明估计式写成分量形式问题关键是求两边取绝对值得不妨假设从而设为Jacobi法的迭代矩阵，若则Gauss-Seidel迭代收敛，而且有估计式其中如果是对称矩阵，且有正的对角元，则求解方程组的J法收敛的充要条件是矩阵和均为正定的.证明：记其中迭代矩阵矩阵和相似，故有相同的特征值；且、、对称必要性设J法收敛，则记的特征值为，则的特

7、征值为所以是对称正定的。对而矩阵是对称正定的因此可知矩阵的特征值均小于1充分性因为正定，所以也是正定矩阵，且其特征值全部大于零。所以的特征值均小于1再由的正定性知的特征值均大于零，即的特征值均大于-1。如果是对称正定矩阵，则求解方程组的G-S法收敛。证明：设，则有记注意到所以G-S法收敛。设满足称为严格对角占优矩阵如果且至少有一个严格不等式成立，则称为弱对角占优矩阵。设，如果能找到排列阵，使得其中与均为方阵，称为可约(分)的否则称为不可约的若系数矩阵是可约的，则可通过行与列重排化为上面(*)式，从而可将方程组简化为

8、低阶方程组。若为可约(分)的，则方程组等价于记则有例如：矩阵是可约的（可约矩阵的等价定义）设矩阵，，如果存在的两个非空子集和，满足使得则称矩阵可约，否则称不可约。例如：矩阵矩阵不可约设为严格对角占优或不可约对角占优，则，且非奇异。证明：首先证明矩阵为严格对角占优的情况（反证法）设矩阵奇异，则方程组存在非零解。不妨假设，则由第k个方程得：其次证明矩阵为不可