数值分析03-线性方程组迭代解法

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1、第三章线性方程组迭代解法3-1阜师院数科院第三章线性方程组迭代解法第三章目录§1向量序列与矩阵序列的极限§2Jacobi迭代法§3Gauss~Seidel迭代法§4松驰法§5迭代法的收敛条件及误差估计5.1矩阵的谱半径5.2迭代法的收敛条件5.3误差估计§6非线性方程组迭代法6.1Newton法6.2最速下降法2阜师院数科院第三章线性方程组迭代解法第三章方程组的迭代解法概述这一章讨论线性方程组的另一类解法——迭代法，由于迭代法能充分避免系数矩阵中零元的存贮与计算，因此特别适用于求解系数矩阵阶数很高而零元素又很多（即大型稀疏）的线性方程组。解线性方程组的迭代法的基本思想与解方程的迭代

2、法相似，首先将方程组Ax=b化为等价方程组x=Mx+g，其中M为n阶方阵，b=(b1,b2,…,bn)T，gRn，任取初始向量x(0)Rn，代入迭代公式：产生向量序列{x(k)}，若此序列收敛于x*，则有x*=Mx*+g，即x*为原方程组的解。因此，可根据精度要求选择一个合适的x(k)（k充分大时）作为近似解，这就是解线性方程组的迭代法，上式称为迭代格式，M称为迭代矩阵，若序列{x(k)}极限存在，称此迭代过程收敛，否则称为发散。3阜师院数科院第三章线性方程组迭代解法§1向量序列与矩阵序列的极限与求解方程类似，需要讨论的问题是：如何建立迭代公式，向量序列的收敛条件是什么，若向量

3、序列{x(k)}收敛，如何进行误差估计？§1向量序列与矩阵序列的极限由于Rn中的向量可与Rn的点建立一一对应关系，因此由点列的收敛概念及向量范数的等价性，可得到向量序列的收敛概念。定义14阜师院数科院第三章线性方程组迭代解法向量序列与矩阵序列的极限（续）n维点列收敛的一种等价描述是其对应坐标序列均收敛，向量序列也有类似的结论。定理15阜师院数科院第三章线性方程组迭代解法矩阵序列的收敛概念及定理定义2完全类似地，可以定义矩阵序列的收敛：与向量序列类似，也有：定理26阜师院数科院第三章线性方程组迭代解法§2雅可比（Jacobi）迭代法设有n阶线性方程组：简记为：其系数矩阵A非奇异，不妨设ai

4、i≠0(1,2,…,n)可将上式改写为等价方程组：7阜师院数科院第三章线性方程组迭代解法雅可比（Jacobi）迭代法（续）也可写作为：可简记为：由此可建立迭代格式：8阜师院数科院第三章线性方程组迭代解法Jacobi迭代法定义选取初始向量x(0)代入（4-4）右端，可得x(1)=Bx(0)+g，再将x(1)代入（3-4）右端，可得x(2)=Bx(1)+g，如此继续下去，就产生一个向量序列{x(k)}，按（3-2）或（3-3）格式迭代求解的方法称为雅可比（Jacobi）迭代法，又叫简单迭代法。迭代式（3-4）中的B称为迭代矩阵，它可直接由（3-2）或（3-3）得到，也可用系数矩阵A来表示：若

5、将系数矩阵A分解为A=D–L–U，其中：9阜师院数科院第三章线性方程组迭代解法Jacobi迭代法定义（续）式（3-5）为简单迭代法的矩阵形式。10阜师院数科院第三章线性方程组迭代解法Jacobi迭代法举例用Jacobi迭代法求解线性方程组：例1解：由第一个方程解x1，第二个方程解x2，第三个方程解x3得Joacbi迭代格式为：继续迭代下去，迭代结果见表3-1：取x(0)=(0,0,0)T代入迭代式（3-6）或（3-7）得：11阜师院数科院第三章线性方程组迭代解法Jacobi迭代法举例00.00000.00000.000017.20008.30008.400029.710010.70001

6、1.5000310.570011.570012.4820410.853511.853412.8282510.951011.951012.9414610.983411.983412.9504710.994411.998112.9934810.998111.994112.9978910.999411.999412.9992表3-1kx1(k)x2(k)x3(k)迭代9次，得近似解x(9)=(10.9994,11.9994,12,9992)T，此方程组的准确解为x=(11,12,13)T，从表3-1可以看出，随着迭代次数的增加，迭代结果越来越接近精确解。12阜师院数科院第三章线性方程组迭代解法

7、§3高斯—塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法Jacobi迭代法的优点是公式简单，迭代矩阵容易得到，它又称为同时替换法：在每一步迭代计算过程中，计算x(k+1)时是用x(k)的全部分量代入求x(k+1)的全部分量。因此需同时保留两个近似解向量x(k)和x(k+1)。13阜师院数科院第三章线性方程组迭代解法高斯—塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法续114阜师院数科院第三章线性方程组迭代解法Gauss-Seidel迭代法求解例