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《第5章 线性方程组的数值解法ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、在工程技术、自然科学和社会科学中，经常遇到的许多问题最终都可归结为解线性方程组。◎电学中的网络问题、◎最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题、◎三次样条函数的插值问题、◎经济运行中的投入产出问题、◎大地测量、机械与建筑结构的设计计算问题等等，归结为求解线性方程组或非线性方程组的数学问题。因此，掌握线性方程组的解法对于解决实际问题是极其重要的。第5章线性方程组的数值解法1简记为Ax=b，其中：一般地，设b≠0,当系数矩阵A非奇异(即detA≠0)时，如下方程组有惟一解。2线性方程组的数值解法一般有两类：直接法：就是经过有限步算术运算，可求得方程组
2、精确解的方法（若计算过程中没有舍入误差）。直接法中具有代表性的算法是高斯(Gauss)消去法。（低阶稠密矩阵）迭代法:就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组的精确解的方法。也就是从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。(一般有限步内得不到精确解)。（高阶稀疏矩阵）解线性方程组有Gram法则，但Gram法则不能用于计算方程组的解，如n＝100，1033次/秒的计算机要算10120年.3三角形方程组的解乘除法：（n＋1）n/2次运算(1)上三角方程的一般形式5.1高斯消去法解：(2)下三角方程的一般形式解：4消去后两个方程
3、中的x1得再消去最后一个方程的x2得消元结束,经过回代得解:Gauss消去法5上述求解的消元过程可用矩阵表示为:(A,b)=这是Gauss消去法的计算形式,新的增广矩阵对应的线性方程组就是上三角形方程组,可进行回代求解。现在介绍求解一般线性方程组的顺序Gauss消去法:记则,线性方程组的增广矩阵为6第一步.设,依次用乘矩阵的第1行加到第i行,得到矩阵:其中7第二步.设,依次用乘矩阵的第2行加到第i行,得到矩阵:其中8如此继续消元下去,第n-1步结束后得到矩阵:这就完成了消元过程。对应的方程组变成：对此方程组进行回代，就可求出方程组的解。9顺
4、序Gauss消去法求解n元线性方程组的乘除运算量是：n2-1+(n-1)2-1+…+22-1+1+2+…+nn=20时,顺序Gauss消去法只需3060次乘除法运算.顺序Gauss消去法通常也简称为Gauss消去法.顺序Gauss消去法中的称为主元素.主元素都不为零Gauss消去法才能执行下去.主元素都不为零矩阵A的各阶顺序主子式都不为零.10步1输入系数矩阵A，右端项b，置k:=1；步2.消元：对k=1,2,…,n-1，计算步3.回代对k=n-1,…,1，计算算法5.1顺序Guass消去法11列主元Gauss消元法解:[方法1]小主元
5、a11回代求解x2=1.0000,x1=0.0000.计算结果相当糟糕.原因:求行乘数时用了”小主元”0.0001作除数.例1在F(10,4,L,U)上用Gauss消去法求解线性方程组方程组的准确解为x*=(10000/9999,9998/9999)T.12解:[方法2]若上题在求解时将1,2行交换,即回代后得到x=(1.0000,1.0000)T与准确解x*=(9998/9999,10000/9999)T相差不大.主元a11方法2所用的是在Gauss消去法中加入选主元过程,利用换行,避免”小主元”作除数,该方法称为Gauss列主元消去法。
6、13由于计算机和方程组本身的限制，在Gauss消元过程中会出现零主元和小主元，而使Gauss消去法无法进行或出现较大舍入误差，为避免此类现象，可以通过行交换来选取绝对值较大的主元素.常采用的是列主元消去法和全主元消去法.给定线性方程组Ax=b,记A(1)=A,b(1)=b,列主元Gauss消去法的具体过程如下:首先在增广矩阵B(1)=(A(1),b(1))的第一列元素中,取然后进行第一步消元得增广矩阵B(2)=(A(2),b(2)).14Gauss列主元消去法因为
7、mi,k
8、≤1,列主元消去法能避免”小主元”作除数,误差分析与数值试验表明：
9、Gauss列主元消去法“基本稳定”.再在矩阵B(2)=(A(2),b(2))的第二列元素中,取按此方法继续进行下去,经过n-1步选主元和消元运算,得到增广矩阵B(n)=(A(n),b(n)).则方程组A(n)x=b(n)是与原方程组等价的上三角形方程组,可进行回代求解.然后进行第二步消元得增广矩阵B(3)=(A(3),b(3)).易证,只要
10、A
11、0,列主元Gauss消去法就可顺利进行.15算法3.2（列主元Gauss消去法）：步1、输入系数矩阵A，右端项b，置k=1;步2、对于(1)按列选主元：选取l使(2)如果，交换(A(k),b(k)
12、)的第k行与第l行元素(3)消元计算：3、回代计算16Gauss-Jordan列主元消去法高斯消去法有消元和回代两个过程，消去的是对角线下方的元素。对消元过程稍加改变便可使方程组
