线性方程组数值解法总结.doc

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1、好久没来论坛，刚刚发现以前的帖子现在那么火很欣慰，谢谢大家支持！今天趁着不想做其他事情，把线性方程组的数值解法总结下，有不足的地方希望大神指教！数学建模中也会用到线性方程组的解法，你会发现上10个的方程手动解得话把你累个半死，而且不一定有结果，直接用matlab的函数，可以，关键是你不理解用着你安心吗？你怎么知道解得对不对？我打算开个长久帖子，直到讲完为止！这是第一讲，如有纰漏请多多直接，大家一起交流！线性方程组解法有两大类：直接法和迭代法直接法是解精确解，这里主要讲一下Gauss消去法，目前求解中小型线性

2、方程组（阶数不超过1000），它是常用的方法，一般用于系数矩阵稠密，而有没有特殊结构的线性方程组。首先，有三角形方程组的解法引入Gauss消去法，下三角方程组用前代法求解，这个很简单，就是通过第一个解第二个，然后一直这样直到解出最后一个未知数，代码如下：前代法：function[b]=qiandai_method(L,b)n=size(L,1);%n矩阵L的行数forj=1:n-1%前代法求解结果存放在b中b(j)=b(j)/L(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j);

3、endb(n)=b(n)/L(n,n);上三角方程组用回代法，和前面一样就是从下面开始解x，代码：后代法：function[y]=houdai_method(U,y)n=size(U,1);%n矩阵L的行数forj=n:-1:2%后代法求解结果存放在y中y(j)=y(j)/U(j,j);y(1:j-1)=y(1:j-1)-y(j)*U(1:j-1,j);endy(1)=y(1)/U(1,1);Gauss消去的前提就是这两个算法：具体思想是把任何一个线性方程组的系数矩阵A，分解为一个上三角和一个下三角的乘积，

4、即A=LU，其中L为下三角，U为上三角。那么具体怎么做呢？有高斯变换，什么是高斯变换？由于时间有限我不可能去输入公式，所以我用最平白的话把它描述出来。你先想一下怎么把一个矩阵的某一列的从第j个分量后全部变0？高斯变换就是通过每次一个矩阵Li把A的第i列对角线元素以下的都变为0，最后把这么多Li一次左乘起来就是一个矩阵L’=L(n-1)L(n-2)…L2L1，而L’A=U,那么L=L’的转置，这样就得到了A得分解。我们要求Ax=bA=LU因此可以利用前代法先求Ly=b,得到yUx=y回代法求解x，这样就可以得

5、到线性方程组的解。高斯消去：function[b]=Gauss(A,b)n=size(A,1);fork=1:n-1A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n);endL=zeros(n,n);%L为下三角矩阵U=zeros(n,n);%U为上三角矩阵fori=1:n;%求解L，为A的对角下半部分L(i+1:n,i)=A(i+1:n,i);endU=A-L;L=L+eye(n);%将L的对角位

6、置设为1if(rank(L)

7、

8、rank(U)

9、后代法无法调用）');endn=size(b);y=ones(n);y=qiandai_method(L,b);x=houdai_method(U,y);给一个测试案例：functiontest1A=[136892;253163;361285;268938;589323;358172];b=[2;-3;2;55;16;-6];b=Gauss(A,b)但是注意这个解法并不

10、是完美的，如果A的顺序主子式不是全为非奇异是不能得到精确解，而且误差非常大，所以下面会讲到选主元三角分解。我今天就讲到这里，请继续关注第二讲！谢谢这些算法要熟练能随时写出来或者背默出来，当然是理解的基础上.