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《第2章-线性方程组的数值解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第二章第二章线性方程组的数值解法线性方程组的数值解法2.12.1消去法消去法2.22.2矩阵分解法矩阵分解法2.32.3向量与矩阵范数向量与矩阵范数2.42.4经典迭代法经典迭代法给定一个线性方程组Ax=bAx=b⎛a11a12⋯a1n⎞⎛x1⎞⎛b1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟aa⋯axb其中A=(a)=⎜21222n⎟,x=⎜2⎟,b=⎜2⎟ijnn×⎜⎟⎜⎟⎜⎟⋯⋯⋯⋯⋮⋮⎜⎟⎜⎟⎜⎟aa⋯axb⎝n1n2nn⎠⎝n⎠⎝n⎠A为系数矩阵,b为右端向量，x为需求解的未知向量。解线性方程组数值解法有两类：直接法：按求精确解的方法运算求解，有Gauss消去法及修正（矩阵分解法）等。迭代法：给一个
2、初始近似解,按一定法则逐步求更精确的近似解的过程;有经典与现代迭代法.2.1Gauss消去法(EliminationMethod)(EliminationMethod)2.1.1三角形方程组的解法三角形方程组是最容易求解的,而Gauss消去法是把一般线性方程组化成两个三角形方程组来求解的。现在考虑上三角形方程组⎛u11u12⋯u1n⎞⎡x1⎤⎡y1⎤⎜⎟⎢⎥⎢⎥⋱⋮⋮⋮⎜⎟⎢⎥=⎢⎥(2.1.1)⎜uu⎟⎢x⎥⎢y⎥n−1,n−1n−1,nn−1n−1⎜⎟⎢⎥⎢⎥uxy⎝nn⎠⎣n⎦⎣n⎦2.1.1三角形方程组的解法u≠0,i=1,⋯,n由于主对角元ii,所以（2.1.1）的解是唯
3、一的。由第i个方程得nyi−∑∑uxijjji=+1x=,i=nn,−1,⋯,1.iuii(2.1.2)同理对于下三角形方程组l≠0,i=1,⋯,nii⎛l11⎞⎡b1⎤⎡c1⎤⎜⎟⎢⎥⎢⎥llbc⎜2122⎟⎢2⎥=⎢2⎥⎜⋮⋮⋱⎟⎢⋮⎥⎢⋮⎥(2.1.3)⎜⎟⎢⎥⎢⎥ll⋯lbc⎝n1n2nn⎠⎣n⎦⎣n⎦i−1ci−∑∑lbijjj=1b=,i=1,2,⋯,.n(2.1.4)ilii2.1.2Gauss消去法初始增广矩阵为()0()0()0()0⎡aa⋅⋅⋅aa⎤11121n1n+1⎢()0()0()0()0⎥aa⋅⋅⋅aa（A()0,b（0））=⎢21222n2n+1⎥(2
4、.1.6)⎢⋯⋅⋅⋅⋯⎥⎢⎥()0()0()0()0⎢aa⋅⋅⋅aa⎥⎣n1n2nnnn,+1⎦(0)第一步消元过程:假设a≠0,把第1列第2-n个元11素变成0.(0)(0)((AA,,bb))→→⎡a(0)a(0)a(0)⋅⋅⋅a(0)a(1)⎤1112131n1n+1⎢⎥(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)⎢0a22−la2112a23−la2113⋅⋅⋅a2n−la211na2,n+1−la211,n+1⎥⎢⎥⎢(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)0an2−lan1n2an3−lan1n3⋅⋅⋅ann−lan1nnann+1−lan1nn+1⎥⎣⎦(
5、0)(0)(0)(0)⎡aa⋅⋅⋅aa⎤11121n1n+1⎢(1)(1)(1)⎥→⎢0a22⋅⋅⋅a2na2n+1⎥=(A(1),b(1))⎢⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎥(2.1.7)⎢⎥(1)(1)(1)⎢⎣⎢⎣⎢⎣0a⋅⋅⋅aa⎥⎦⎥⎦⎥⎦n2nnnn+1计算公式为(0)(0)⎧⎪⎧⎪⎧⎪l=a/ai=2,⋅⋅⋅,,ni1i111⎨(1)(0)(0)⎪a=a−lai=2,⋅⋅⋅,;nj=2,⋅⋅⋅+n1.⎩ijiji11j(1)a≠0第2步消元过程:假设22,把第2列的后n-2个元素变成0.(0)(0)(0)(0)⎡aaa⋅⋅⋅a⎤1112131n+1⎢⎥(1)(1)(1)⎢0aa⋅⋅⋅a
6、⎥22232n+1→⎢00a(2)⋅⋅⋅a(2)⎥≡（A(2),b(2)）333n+1⎢⎥⎢⋅⋅⋅⎥⎢(2)(2)⎥00a⋅⋅⋅a⎣n3nn+1⎦(i−1)第k步消元过程：假设（a≠0，i=1，⋯，k）ii前面k-1步消元得到如下形式(k−1)(k−1)（A,b）=⎡a(0)a(0)a(0)⋅⋅⋅⋅a(0)⎤1112131,n+1⎢(1)(1)(1)⎥aa⋅⋅⋅⋅a⎢22232,n+1⎥⎢(2)⎥a⎢33⎥⎢⋱⎥⎢(k−2)(k−2)(k−2)⎥aa⋅a⎢k−1,k−1k−1,kk−1,n+1⎥(k−1)(k−1)⎢a⋅a⎥kk,kn,+1⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎢(k−1)⋅(k−1)⎥a
7、a⎣nk,nn,+1⎦(k)(k)(2.1.9):（A,b）⎡a(0)a(0)a(0)⋅⋅⋅⋅a(0)⎤1112131,n+1⎢(1)(1)(1)⎥aa⋅⋅⋅⋅a⎢22232,n+1⎥⎢(2)⎥a⎢33⎥⎢⋱⎥=⎢⎥(k−1)(k−1)(k−1)aa⋅a⎢kk,kk,+1kn,+1⎥(k)(k)⎢0a⋅a⎥k+1,k+1k+1,n+1⎢⎥⎢⋮⋅⋅⋅⎥⎢(k)⋅(k)⎥0aa⎣nk,+1nn,+1⎦计算公式(2.1.10)与(2.1.11)(k−1)(k−1)⎧⎪⎧⎪⎧
