南大数值分析课件§4.2 线性多步法

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1、§4线性多步法/*MultistepMethod*/用若干节点处的y及y’值的线性组合来近似y(xi+1)。)...(...110111101kikiiikikiiiffffhyyyy--+---+++++++++=bbbbaaa其通式可写为：当10时，为隐式公式;1=0则为显式公式。基于数值积分的构造法将在上积分，得到只要近似地算出右边的积分，则可通过近似y(xi+1)。而选用不同近似式Ik，可得到不同的计算公式。§4MultistepMethod亚当姆斯显式公式/*Adamsexplicitformulae*/利用k+1个节点上的被积函数值构造k阶牛顿后插多项

2、式,有Newton插值余项/*显式计算公式*/局部截断误差为：例：k=1时有§4MultistepMethod注：一般有，其中Bk与yi+1计算公式中fi,…,fik各项的系数均可查表得到。10123kfifi1fi2fi3…Bk…………………常用的是k=3的4阶亚当姆斯显式公式§4MultistepMethod亚当姆斯隐式公式/*Adamsimplicitformulae*/利用k+1个节点上的被积函数值fi+1,fi,…,fik+1构造k阶牛顿前插多项式。与显式多项式完全类似地可得到一系列隐式公式，并有，其中与fi+1,fi,…,fik+1的系数亦可查表得到。

3、~~10123kfi+1fifi1fi2…Bk…………………~常用的是k=3的4阶亚当姆斯隐式公式小于Bk较同阶显式稳定§4MultistepMethod亚当姆斯预测-校正系统/*Adamspredictor-correctorsystem*/Step1:用Runge-Kutta法计算前k个初值；Step2:用Adams显式计算预测值；Step3:用同阶Adams隐式计算校正值。注意：三步所用公式的精度必须相同。通常用经典Runge-Kutta法配合4阶Adams公式。Hey!Lookatthelocaltruncationerroroftheexplicitandimp

4、licitAdamsmethods:andDon’tyouthinkthere’ssomethingyoucando?4阶Adams隐式公式的截断误差为4阶Adams显式公式的截断误差为当h充分小时，可近似认为ii，则：Predictedvaluepi+1Modifiedvaluemi+1Correctedvalueci+1Modifiedfinalvalueyi+1外推技术/*extrapolation*/§4MultistepMethodAdams4th-Orderpredictor-correctorAlgorithmToapproximatethethesolut

5、ionoftheinitial-valueproblemAt(N+1)equallyspacednumbersintheinterval[a,b].Input:endpointsa,b;integerN;initialvaluey0.Output:approximationyatthe(N+1)valuesofx.Step1Seth=(ba)/N;x0=a;y0=y0;Output(x0,y0);Step2Fori=1,2,3ComputeyiusingclassicalRunge-Kuttamethod;Output(xi,yi);Step3Fori=4,…,Ndostep

6、s4-10Step5;/*predict*/Step6;/*modify*/Step7;/*correct*/Step8;/*modifythefinalvalue*/Step9Output(xi+1,yi+1);Step10Forj=0,1,2,3Setxi=xi+1;yi=yi+1;/*Preparefornextiteration*/Step11STOP.应为(ci+1pi+1),但因ci+1尚未算出，只好用(cipi)取代之。§4MultistepMethod基于泰勒展开的构造法)...(...110111101kikiiikikiiiffffhyyyy--+--

7、-+++++++++=bbbbaaa将通式中的右端各项yi1,…,yik;fi+1,fi1,…,fik分别在xi点作泰勒展开，与精确解y(xi+1)在xi点的泰勒展开作比较。通过令同类项系数相等，得到足以确定待定系数0,…,k;1,0,…,k的等式，则可构造出线性多步法的公式。例：设)(3322110221101-----+++++++=iiiiiiiiyyyyhyyyybbbbaaa确定式中待定系数0,1,2,0,1,2,3,使得公式具有4阶精度。