线性代数§4.2

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1、§4.2向量组的线性相关性一、线性相关性的概念定义:给定向量组A:α1,α2,···,αm,如果存在不全为零的数k1,k2,···,km,使k1α1+k2α2+···+kmαm=O则称向量组A是线性相关的,否则称它是线性无关.10100例如,线性无关。这是因为要使kk12+=01010则必有kk12==0。12120例如,线性相关。这是因为要使kk12+=12120则可选取kk12=-2,=1。（注意kk12,的值不唯一！）注意1:对于任一向量组而言,不是线性无关的就是线

2、性相关的.注意2:若α1,α2,···,αm线性无关,则只有当λ1=λ2=···=λm=0时,才有λ1α1+λ2α2+···+λmαm=O成立.注意3:向量组只包含一个向量α时,若α=O则说α线性相关;若α≠O,则说α线性无关.注意4:包含零向量的任何向量组是线性相关的.注意5:对于含有两个向量的向量组,它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例,几何意义是两向量共线.三、线性相关性的判定结论:向量组α1,α2,···,αm(当m≥2时)线性相关的充分必要条件是α1,α2,···,αm中至少有一个向量可由其余m–1个向量线性表示.证明:充分性.设α1,α2,···,αm中有一个向量(比如

3、αm)能由其余向量线性表示即有,αm=λ1α1+λ2α2+···+λm–1αm–1也就是λ1α1+λ2α2+···+λm–1αm–1+(-1)αm=O因λ1,λ2,···,λm–1,(-1)这m个数不全为0,故α1,α2,···,αm线性相关.必要性.设α1,α2,···,αm线性相关.则有不全为0的数k1,k2,···,km,使k1α1+k2α2+···+kmαm=O不妨设k≠0,则有1kkk23mα=(−)α+(−)α++(−)α.123mkkk111即α能由其余向量线性表示.证毕1线性相关性在线性方程组中的应用若方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时,这个方程就是多余的,这时称方

4、程组(各个方程)是线性相关的;当方程组中没有多余方程,就称该方程组(各个方程)线性无关或线性独立的.结论:向量组A线性相关等价于齐次线性方程组x1α1+x2α2+···+xmαm=O即Ax=O有非零解,其中A=(α1,α2,···,αm).由此可得:定理4:向量组α1,α2,···,αm线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(α1,α2,···,αm)的秩小于向量个数m;向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m.下面举例说明定理4的应用.例1:讨论n维单位坐标向量组的线性相关性.解:n维单位坐标向量组构成的矩阵为n阶单位矩阵.由

5、E

6、=1≠0知,R(E)=n.即R(E)等于组中向量个

7、数.故由定理4知:n维单位坐标向量组是线性无关的.例2:已知102α=1,α=2,α=4,123157试讨论向量组α1,α2,α3及α1,α2的线性相关性.解:分析对矩阵(α1,α2,α3)作初等行变换变成行阶梯形矩阵,可同时看出矩阵(α1,α2,α3)及(α1,α2)的秩,利用定理4即可得出结论.1025102102r2−r1r3−2r2(α,α,α)=124~022~022，123r−r15731055000可见,R(α1,α2,α3)=2,故向量组α1,α2,α3线性相关,而R(α1,α2

8、)=2,故向量组α1,α2线性无关.例3:已知向量组a1,a2,a3线性无关,试证向量组b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a1线性无关.证一:设有x1,x2,x3,使x1b1+x2b2+x3b3=O即x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a1)=O,亦即(x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=O,因向量组a1,a2,a3线性无关,所以x1+x3=0x1+x2=0x2+x3=0101由于此方程组的系数行列式110=2≠0,011故方程组只有零解,即只有x1=x2=x3=0,因此由定义得,向量组b1,b2,b3线性无关.证二:得B=AK

9、,因为

10、K

11、=2≠0知K可逆,由矩阵秩的性质4得:R(B)=R(AK)=R(A)=3因此由定理4得,向量组b1,b2,b3线性无关.本例给出的两种证明方法都是证明向量组线性无关性的常用方法.证一是依据定义的证明方法,即向量组的线性组合为零的组合系数只能都为零;证二仍是利用定理4,但过程利用了矩阵秩的性质.线性相关性是向量组的重要性质,给出如下结论:定理5:(1)若向量组A:α1,α2,···,αm线性相关,则向量组B:α