线性代数§1.5

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1、§1.5行列式的性质一、行列式的性质记a11a12a1na11a21an1Da21a22a2nDTa12a22an2an1an2anna1na2nann行列式DT称为行列式D的转置行列式.性质1:行列式与它的转置行列式相等,即DT=D.证明:记行列式D=det(aij)的转置行列式为:b11b12b1nDTb21b22b2n,bn1bn2bnn即b=a(i,j=1,2,···,n),按定义ijjiTttD1b1p1b2p2bnpn1ap1

2、1ap22apnn.又由行列式的另一种表示得,tD1ap1ap2apn.12n所以,DT=D,结论成立说明:行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的结论,对列也同样成立.性质2:互换行列式的两行(列),行列式变号.证明:设行列式a11a1ja1ia1nb11b12b1nDap1apjapiapnb21b22b2n,1aaaabn1bn2bnnn1njninn是由行列式a11a1ia1ja1nDap1apia

3、pjapnan1anianjann互换i,j(i

4、ap11apjiapijapnns1ap11apjiapijapnnD例如175175175715662358662662358662358538推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.证明:互换相同的两行,则有D=–D,所以D=0.性质3:行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式.即a11a12a1na11a12a1nkai1kai2kainkai1ai2ainan1an2annan1an2a

5、nn推论:行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.性质4:行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零．证明:a11a12a1na11a12a1nai1ai2ainai1ai2aink0.kai1kai2kainai1ai2ainan1an2annan1an2ann性质5:若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,例如a11a12(a1ia1i)a1nDa21a22(a2ia2i)a2nan1an2

6、(aniani)ann则D等于下列两个行列式之和:a11a1ia1na11a1ia1nDa21a2ia2na21a2ia2nan1aniannan1aniann证明:sD1aq11aq22(aqiiaqii)aqnns1aq11aq22aqiiaqnns1aq11aq22aqiiaqnn故结论成立.性质6:把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.例如a11

7、a1ia1ja1na21a2ia2ja2nkan1anianjanna11(a1ika1j)a1ja1na21(a2ika2j)a2ja2nan1(anikanj)anjann引入记号:用ri表示第i行,ci表示第i列.在计算行列式时,我们经常利用性质2,3,6对行列式进行变换.利用性质2交换行列式的第i,j两行(列),记作rirj(cicj);利用性质3行列式的第i行(列)乘以数k,记作rik(cik);利用性质6把行列式的第j行(列)的各

8、元素乘以同一数k然后加到第i行(列)对应的元素上去,记作ri+rjk(ci+cjk);二、行列式计算计算行列式常用方法:利用性质2,3,6,特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式,从而,较容易的计算行列式的值．例:计算行列式111111111r-2r21D=2340120128r-3r31305032008101-1101110110023r-r0023r2r40103D=31