线性代数§3.2

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1、§3.2初等矩阵一、初等矩阵的概念矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算,应用广泛.定义:由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵.对调两行或两列;以非零数k乘某行或某列;以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去.对调两行或两列对调E中第i,j两行(或列),得初等矩阵E(i,j):1101第i行1E(i,j)=110第j行11用m阶初等矩阵Em(i,j)左乘A=(aij)mn,得1a11a12a1n01ai1ai2ain

2、Em(i,j)A=10aj1aj2ajn1am1am2amna11a12a1n相当于对矩aaa阵A施行第一种j1j2jn第i行初等行变换:把ai1ai2ain第j行A的第i行与第j行对调(rr).ijam1am2amn用n阶初等矩阵En(i,j)右乘A=(aij)mn,得a11a1ja1ia1naaaaAE(i,j)212j2i2nnaaaam1mjmimn第i列第j列相当于对矩阵A施行第一种初

3、等列变换:把A的第i列与第j列对调(cicj).以非零数k乘某行或某列以数k0乘单位矩阵的第i行(或列)得初等矩阵E(i(k)).11E(i(k))k第i行11以Em(i(k))左乘矩阵A=(aij)mn,得a11a12a1nE(i(k))Akakaka第i行mi1i2inam1am2amn相当于以数k乘A的第i行(rik).类似地,以En(i(k))右乘矩阵A=(aij)mn,其结果相当于以数k乘A的第i列(cik).以数k0乘某行(列)加到另一行(列)上去以k乘E的第j行

4、加到第i行上,或以k乘E的第i列加到第j列上得初等矩阵E(ij(k)).11k第i行1第j行1以Em(ij(k))左乘矩阵A=(aij)mn,相当于把A的第j行乘数k加到A的第i行上(ri+krj).a11a12a1nakaakaaai1j1i2j2injn第i行Em(ij(k))Aaaaj1j2jn第j行am1am2amn类似地,以En(ji(k))右乘矩阵A=(aij)mn,其结果相当于把A的第j列乘数k加到A的第i列上(ci+kcj).a11a1ik

5、a1ja1ja1naakaaaAE(ji(k))212i2j2j2nnaakaaam1mimjmjmn第i列第j列二、初等矩阵的应用定理1:设A是一个mn矩阵,对A施行一次初等行变换,相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵;对A施行一次初等列变换,相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵变换rirj的逆变换是其本身,则E(i,j)-1=E(i,j).变换rik的逆变换是ri(1/k),则E(i(k))-1=E(i(1/k)).变换ri+krj的逆变换是ri+(–k)rj,则E(ij(

6、k))-1=E(ij(–k)).定理2:方阵A为可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,···,Pl,使A=P1P2···Pl.证:充分性.由于A=P1P2···Pl,且初等矩阵P1,P2,···,Pl为可逆的,有限个可逆矩阵的乘积仍是可逆的,故方阵A可逆.必要性.设矩阵A为可逆的,且A的标准形为F,则存在有限个初等矩阵P1,P2,···,Pl使P1P2···PsFPs+1···Pl=A.由于A可逆,且P1,P2,···,Pl也可逆,故A的标准形F也必可逆,设ErOFOOnn假若r

7、F

8、=0,这与F可逆矛盾.故有F=E.从而,A=P1P2···

9、Pl,证毕由以上的证明可得:可逆矩阵的标准形就是E,实际上,可逆矩阵的行最简形也是E.推论2:mn矩阵AB的充分必要条件是存在m阶可逆方阵P及n阶可逆方阵Q,使PAQ=B.利用初等变换求逆阵的方法:当

10、A

11、0时,则由A=P1P2···Pl,得P1P1P1AE,及P1P1P1EA1.ll11ll11对n2n矩阵(AE)分块为(A

12、E),则P1P1P1A

13、Ell11P1P1P1A

14、P1P1P1EE

15、A1ll11ll