线性代数§3.3

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1、§3.3矩阵的秩一、矩阵秩的概念由上节讨论知:任何矩阵Amn,总可以经过有限次初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和标准形矩阵.行阶梯形矩阵中非零行的行数,也就是标准形矩阵中的数字r是唯一确定的.它是矩阵理论中非常重要的数量关系之一——矩阵的秩.定义:在mn矩阵A中任取k行k列(km,kn),位于这k行k列交叉处的k2个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式,被称为矩阵A的k阶子式.mn矩阵A的k阶子式共有CkCk个.mn定义:若在矩阵A中有一个r阶子式D非零,且所有的r+1阶子式(如果存在的话)都为零,则称D为矩阵A的一个最高阶非零子式,称

2、数r为矩阵A的秩,记作R(A).规定零矩阵的秩为零.mn矩阵A的秩R(A)是A中不等于零的子式的最高阶数.对于AT,显然有:R(AT)=R(A).123例1:求矩阵A=235的秩.47112解:在矩阵A中0.又由于矩阵A的3阶子23式只有

3、A

4、,且

5、A

6、=0.所以,R(A)=2.2103203125例2:求矩阵B=的秩.0004300000解:由于B是一个行阶梯形矩阵,其非零行有3行,所以B的所有4阶子式都为零.213而0320,所以,R(B)=3.0041322例3:求矩阵A=0213的秩.

7、201513解:因为20,计算A的3阶子式.021322132A0213,0210,20152011321223220230,0130,2130.205215015所以,R(A)=2.另解:用初等变换将A化为行阶梯形矩阵:132213220213~0213,20150000显然,非零行的行数为2.所以,R(A)=2.此方法简单!但理论依据如何?二、矩阵秩的求法因为任何矩阵Amn,总可以经过有限次初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵.问题:经过变换矩阵的秩改变吗?定理1:

8、若AB,则R(A)=R(B).证:先证明:若A经过一次初等行变换变为B,则R(A)=R(B).设R(A)=r,且A的某个r阶子式Dr0.rirjrik当AB或AB时,则在B中总能找到与Dr相对应的子式Dr.由于Dr=Dr,或Dr=–Dr,或Dr=kDr.因此Dr0,从而R(B)r.当ArikrjB时,分三种情况讨论:(1)Dr中不含第i行;(2)Dr中同时含第i行和第j行;(3)Dr中含第i行但不含第j行.对(1),(2)两种情形,显然B中与Dr对应的子式Dr有Dr=Dr0,从而,R(B)r.对情形(3),

9、DrkrrkrDkD,rijijrr若Dr0,由Dr中不含第i行知,A中有不含第i行的r阶非零子式.因此,R(B)r.若Dr=0,则Dr=Dr0,从而,R(B)r.因此,A经过一次初等行变换变为B,则R(B)R(A).又由于B也可以经过一次初等行变换变为A,因此有,R(A)R(B).从而,A经过一次初等行变换变为B,则R(A)=R(B).经一次初等行变换矩阵的秩不变,即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变.设A经过初等列变换变为B.则AT经过初等行变换变为BT.故,R(AT)=R(BT).因而有:R(A)=R(AT)=R

10、(BT)=R(B).综上所述,若A经过有限次初等变换变为B,即AB,则R(A)=R(B).证毕初等变换求矩阵秩的方法:用初等行变换把矩阵变成为行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.3205032361例4:求矩阵A=20153的秩.并求A的16414一个最高阶非零子式.解:用初等行变换将A化为行阶梯矩阵:16414rr16414rr24043111432361A20153r2r01297113132050r43r10161281216414

11、16414r3r3204311rr0431143.r4r0004800048420004800000由阶梯形矩阵有三个非零行可知:R(A)=3.以下求A的一个最高阶非零子式.由于R(A)=3.矩阵A的3阶子式共有C3C340个.45考察A的行阶梯形矩阵.将矩阵A按列分块,A=(a1a2a3a4a5),则矩阵B=(a1a2a4)的行阶梯形矩阵为161041004,000故B中必有3阶非零子式,且共有4个.计算B的前三行构成的子式,32532561132660112