线性代数§4.3

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1、§4.3向量组的秩一、最大线性无关向量组定义1:设有向量组A,如果在A中能选出r个向量A0:α1,α2,···,αr,满足(1)向量组A0:α1,α2,···,αr线性无关;(2)向量组A中任意r+1个向量(如果存在的话)都线性相关.则称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组).最大无关组所含向量的个数r称为向量组的秩,记作RA.只含零向量的向量组没有最大无关组,规定它的秩为0.说明(1):最大无关组不唯一.102例如:α=1,α=2,α=4,123157知R(α

2、1,α2,α3)=2,即α1,α2,α3线性相关,而α1,α2和α2,α3都线性无关,所以α1,α2和α2,α3都是α1,α2,α3的最大无关组.说明(2):向量组与它的最大无关组是等价的.设A0:α1,α2,···,αn是向量组A的一个最大无关组.则显然A0可由A线性表示.对A中任意向量α将其加入A0中得到向量组α1,α2,···,αn,α是线性相关的,则由上节定理5的结论(3)知,α可A0由线性表示,从而向量组A可由它的最大无关组A0线性表示.所以,向量组与它的最大无关组是等价的.二、矩阵与向量组秩的关系定理6:矩阵的秩等于它的

3、列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩.证明:设A=(α1,α2,···,αm),R(A)=r,并设其r阶子式Dr≠0.根据上节的定理4,由Dr≠0知,Dr所在的列向量组线性无关,又由于A中所有r+1阶子式均为零知,A中任意r+1个列向量都线性相关.因此Dr所在的r列是A的列向量的一个最大无关组,所以A的列向量组的秩等于r.类似可证A的行向量组的秩也等于R(A).向量组α1,α2,···,αm的秩也记作R(α1,α2,···,αm).结论:若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式,则Dr所在的r列即是A的列向量组的一个最大无关组,Dr所在的

4、r行即是A的行向量组的一个最大无关组.例1:全体n维实向量构成的向量组记作Rn,求Rn的一个最大无关组及Rn的秩.解:因为n维单位坐标向量构成的向量组E:e1,e2,···,en是线性无关的.又根据上节定理5的结论(3)知,Rn中的任意n+1个向量都是线性相关的,因此向量组E是Rn的一个最大无关组,且Rn的秩等于n.推论(最大无关组的等价定义):设有向量组A0:α1,α2,···,αr是向量组A的一个部分组,且满足:(1)向量组A0:α1,α2,···,αr线性无关;(2)向量组A的任意向量都能由向量组A0线性表示;则向量组A0是向

5、量组A的一个最大无关组.实际上,依定义只需证明向量组A中的任意r+1个向量都线性相关即可.设b1,b2,···,br+1为向量组A中的任意r+1个向量,由条件(2)知,这r+1个向量可以由向量组A0线性表示,则由定理4可知:R(b1,b2,···,br+1)≤R(α1,α2,···,αr)=r,再由定理4可得:向量组b1,b2,···,br+1线性相关,则由定义知:向量组A0是向量组A的一个最大无关组.2−1−11211−214例2:设矩阵A=4−62−24,36−979求A矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把不

6、属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.解:对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵:11−21401−110A~,0001−300000得R(A)=3.故列向量组的最大无关组含3个向量.而三个非零行的非零首元所在的1,2,4三列.故α1,α2,α4为列向量组的一个最大无关组.事实上2−11111111初等行变换011(α1,α2,α4)=4−6−2~001367000知R(α1,α2,α4)=3,故α1,α2,α4线性无关.要把α3,α5用α1,α2,α4线性表示必须将A再

7、变成行最简形矩阵.10−10401−103A初等行变换=B.0001−3~00000即得α3=−α1−α2.(1)α5=4α1+3α2−3α4此式成立的理论依据:设B的列向量组为:β1,β2,β3,β4,β5.由于齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解,即(α1,α2,α3,α4,α5)x=0与(β1,β2,β3,β4,β5)x=0同解,设其解为:x1,x2,x3,x4,x5,则有x1α1+x2α2+x3α3+x4α4+x5α5=0(2)与x1β1+x2β2+x3β3+x4β4+x5β5=0(3)同时成立.取

8、其两个解:x1=4,x2=3,x3=0,x4=–3,x5=–1;和x1=1,x2=1,x3=1,x4=0,x5=0.得α1+α2+α3=0即α3=−α1−α2.4α1+3α2–3α4–α5=0α5=4α1+3α2−3α4这两个解