线性代数§4.1

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1、§4.1向量组及其线性组合一、n维向量的概念定义1:n个有次序的数a1,a2,···,an所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数ai称为第i个分量.分量全为实数的向量称为实向量.写成一列的n维向量,称为列向量,也就是列矩阵,通常用a,b,α,β等表示,如:a1a2α=.an写成一行的n维向量,称为行向量,也就是行矩阵,通常用aT,bT,αT,βT等表示,如:αT=(a,a,,a).12n注意:1.行向量和列向量总被看作是不同的向量;2.行向量和列向

2、量都按照矩阵运算法则进行运算;3.当没有明确说明是行向量还是列向量时,都当作列向量.二、向量组与矩阵若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.例如:矩阵A=(aij)m×n有n个m维列向量:a1a2ajana11a12a1ja1nA=a21a22a2ja2naaaam1m2mjmn向量组a1,a2,···,an称为矩阵A的列向量组.类似地,矩阵A=(aij)m×n有m个n维行向量:αTa11a12a1n1Ta21a2

3、2a2nα2A=ai1ai2ainαTiaaaαTm1m2mnm向量组α1T,α2T,···,αmT称为矩阵A的行向量组.反之,由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.n个m维列向量所组成的向量组a1,a2,···,an构成一个m×n矩阵A=(a,a,,a)12nm个n维行向量所组成的向量组α1T,α2T,···,αmT构成一个m×n矩阵αT1TαA=2αTm定义:给定向量组A:α1,α2,···,αm,对于任何一组实数k1,

4、k2,···,km,向量k1α1+k2α2+···+kmαm称为向量组A:α1,α2,···,αm的一个线性组合,k1,k2,···,km称为这个线性组合的系数.给定向量组A:α1,α2,···,αm和向量b,如果存在一组数λ1,λ2,···,λm,使b=λ1α1+λ2α2+···+λmαm则向量b是向量组A的线性组合,这时称向量b能由向量组A线性表示.即线性方程组λ1α1+λ2α2+···+λmαm=b有解.101已知α=12α,=,b=012110

5、因为=1+2201所以b能由a，a线性表示，且b=1α+2α1212101已知α=12α1,=0,b=10121λ110因为1≠=0λ0+λ01221λ02所以b不能由a1，a2线性表示利用分块矩阵，可将该方程组表示为矩阵形式λ1λ2，当为列向量时.(aa12,,,am)=ba12,,,aamλm由线

6、性方程组的知识可知定理1:向量b能由向量组A:α1,α2,···,αm线性表示的充分必要条件是矩阵A=(α1,α2,···,αm)与矩阵B=(α1,α2,···,αm,b)的秩相等.101已知α=12α,=,b=01210λ11=R(α,12αα,α),b=2,R(12)=201λ22所以b能由a1，a2线性表示.因为该方程组的解为λ=1,λ=212b=1α+2α12101已知α=α0,=0,b=112

7、012101λ1R(α,αα,α),b=2,R()=300=11212λ2012所以b不能由a1，a2线性表示例1:设111112−10a1=2,a2=1,a3=4,b=3,2301证明向量b能由向量组a1,a2,a3线性表示,并求表示式.证明:要证向量b能由向量组a1,a2,a3线性表示,需要证明:矩阵A=(a1,a2,a3)与B

8、=(a1,a2,a3,b)的秩相等.为此将B化为行最简形:1111103212−10行变换01−2−1B=2143000023010000可知,R(A)=R(B),因此,向量b能由向量组a1,a2,a3线性表示.由B的行最简形可得方程组Ax=b通解为:−32−3c+2x=c2+−1=2c−110c故表示式为:b=(a1,a2,a3)x=(–3c+2)a1+(2c–1)a2+ca3,其中c为任意常