2014线性代数课件-§4.1

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1、第四章线性空间引言现实世界的数量关系中“线性”问题可以用线性方程组来处理。研究线性方程组的工具是n维向量。数域K上所有n元有序数组组成的集合Kn，有加法、数量乘法运算，它们满足加法的交换律、结合律等8条运算法则。矩阵在研究线性方程组中发挥了重要作用，因此矩阵也是研究线性问题的有力工具。矩阵有加法、数量乘法、乘法三种运算。数域K上所有sn矩阵组成的集合中，矩阵的加法、数量乘法运算满足结合律、结合律等8条运算法则。从上述收到启发，本章我们将建立一个数学模型：线性空间，研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线性问题的重要理论。第四章向量空间§

2、4.1向量空间§4.2向量内积§4.3正交矩阵4§4.1向量空间教学纲目一、线性空间二、向量组的线性相关与线性无关三、线性空间的基与维数四、线性空间的基变换与坐标变换公式五、线性空间的子空间5教学要求1、理解和掌握线性空间。2、理解和掌握向量组的线性相关与线性无关。3、理解和掌握线性空间的基与维数。4、理解和掌握基变换与坐标变换公式。5、理解和掌握线性空间的子空间。6一、线性空间定义4.1数域F上的所有n维向量组成的集合V，在其上定义了向量的线性运算，且满足八条运算性质：(1)+=+；(2)(+)+=+(+)；(3)

3、V中存在零向量O,使对V，有+O=；(4)对V，存在-V，使+(-)=O;(5)1=；(7)(k+l)=k+l；(6)k(l)=(kl)；(8)k(+)=k+k，7其中,,是集合V中任意元素，k,l为数域F中任意的数，则称V为数域F上的n维向量空间，(n-dimensionalvectorspace).记作Fn。例如集合{(a,a,…,a)TaR，i=1,2,…,n}构成R上12ni一个n维向量空间，记作Rn。8定义4.2设V是一个非空集合，F是一个数域，在V中定义一个代数运算:(

4、,)，叫做加法。把称为与的和，记作=+；在F与V之间定义了一个运算，即(k,)，叫做数量乘法，把称为k与的数量乘积，记作=k。如果加法和数数量乘法满足下述8条运算法则：对任意的,,V，任意的数k,lF，有10+=+(加法交换律);20(+)+=+(+)(加法结合律);30V中有一个元素，记作O，它使得+O=，V具有这个性质的元素O称为V的零元素；40对于V，存在V，使得+=O；具有这个性质的元素称为的负元素；501=;60k(l)=(kl);7

5、0(k+l)=k+l;80k(+)=k+k,则称V为数域F上的一个线性空间。要判别一个集合是否为某数域上的一个线性空间，须考查五个条件：(1)该集合必须是一个非空集合。(2)要有指定的数域。(3)在该非空集合上定义有加法法则，且满足和的唯一性与加法封闭性。(4)在该非空集合和指定数域上定义有数乘法则，且满足数乘的唯一性与数乘封闭性。(5)加法和数乘法则运算满足八条运算性质。12借助几何语言，把线性空间的元素称为向量，线性空间又称为向量空间。数域F上线性空间V的加法与数量乘法运算统称为线性运算。例1向量空间Rn={(a,a,…,

6、a)TaR，i=1,2,…,n}12ni也构成R上一个线性空间。【注】线性空间中的元素可以是向量。例2设M(F)为数域F上的全体mn矩阵组成的集合，mn其加法和数乘运算为矩阵的加法和数乘运算，则M(F)构成数域F上一个线性空间。mn【证】(1)M(F)为非空集合。mn(2)指定数域F。(3)在M(F)上定义有加法法则，即矩阵的加法，对mnM(F)中任二mn矩阵A,B，按照矩阵的加法法则，mn其和A+BV，并且和是唯一确定的，即满足和的唯一性与加法封闭性。15(4)对M(F)中任一矩阵D及kF，按照矩阵的数乘mn法则

7、，kDV，并且kD是唯一确定的，即满足数乘的唯一性与数乘封闭性。(5)加法法则和数乘法则满足八条运算性质：对A,B,CM(F)，k,lF，mn(i)A+B=B+A;(ii)(A+B)+C=A+(B+C);(iii)OM(F)，有A+O=A;mn(iv)对A，-AM(F)，有A+(-A)=O;mn16(v)1A=A;(vi)k(lA)=(kl)A;(vii)(k+l)A=kA+lA;(viii)k(A+B)=kA+kB,则称M(F)为数域F上的一个线性空间。mn【注】线性空间中的元素也可以是矩阵。特别地，M(F)表示

8、数域F上全体n阶矩阵组成的线性空间。n例3数域K上所有一元多项式组成的集合K[x]，它对于多项式的加法，以及K中元素与多项式的数量乘法，成为K上的一个线性空间。例4复数域C可以看