2015线性代数课件-§5.3

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1、§5.3实对称矩阵的对角化教学纲目一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质二、实对称矩阵必可对角化及其对角化的方法教学要求1、理解和掌握实对称矩阵特征值和特征向量的性质；2、熟练掌握实对称矩阵对角化的方法。Zhanglizhuo-2015一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质实数域上的矩阵简称为实矩阵。实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。如果对于n阶实矩阵A,B，存在正交矩阵T，使得T-1AT=B，则称A正交相似于B。Zhanglizhuo-2015定理1实对称矩阵的特征多项式在复数域中的每一个根都是实数。【证】设A是n阶实对称矩阵，是A的特征多项式0

2、E-A

3、在复数域中的任意一个根，于

4、是

5、E-A

6、=0,0从而复数域上的齐次线性方程组(E-A)X=O有非零解，0取它的一个非零解c1c2,cn则(E-A)=O，从而A=,00Zhanglizhuo-2015在上式两端取共轭复数，A=,0由于A是实矩阵，因此A=A，从而A=,0上式两端左乘T，得TA=T,0就A=式两端取转置，然后用右乘，得0TA=T,0比较上、下两式，得TT0=0,Zhanglizhuo-2015即(-)T=O,00由于O，因此T=(cc+cc+…+cc)=

7、c

8、2+

9、c

10、2+…+

11、c

12、20，1

13、122nn12n于是-=0，即=，因此是实数。模00000从定理1得出，实对称矩阵的特征多项式在复数域中的每一个根都是这个矩阵的特征值。【注】实系数齐次线性方程组(E-A)X=O有实基础解系。0Zhanglizhuo-2015定理2实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量是正交的。【证】设,是A的不同的特征值，是A的属于的12ii特征向量，i=1,2，由于TTTTTT1(12)=(11)2=(A1)2=1A2=1A2，TTTT2(12)=1(22)=1(A2)=1A2，因此TTT1(12)=2(12)，于是(1-

14、2)(12)=0，又由于T12，所以12=0，即1与2正交。Zhanglizhuo-2015二、实对称矩阵必可对角化及其对角化的方法定理3实对称矩阵一定正交相似于对角矩阵。【证】对于实对称矩阵的阶数n作数学归纳法。n=1时，(a)已经是对角矩阵了，且E-1(a)E=(a)。11假设任一n-1阶实对称矩阵都能正交相似于对角矩阵，下面来看n阶实对称矩阵A。取A的一个特征值(由定理1保证可取到)，取A的属于11的一个特征向量1，且

15、1

16、=1，依定理，1可扩充成Rn的一个基，然后经施密特正交化和单位化，可得Rn的一个标准正交基：,,…,，令12nZhanglizh

17、uo-2015令T=(,,…,),则T是n阶正交矩阵，且使112n1T-1AT=T-1(A,A,…,A)11112n=(T-1,T-1A,…,T-1A)111121n因为T-1T=E，即11-1-1-1(T11,T12,…,T1n)=(1,2,…,n)即T-1=，从而T-1AT的第1列是，因此可设111111111TAT,11OB由于T是正交矩阵，A是实对称矩阵，因此T-1AT也111是实对称矩阵，从而=O，且B是n-1阶实对称矩阵。Zhanglizhuo-2015据归纳法假设，有n-1阶正交矩阵T，使得2T-1BT=diag{

18、,,…,}，2223n1O令TT,1OT2由于上式右端两个矩阵都是n阶正交矩阵,因此T是n阶正交矩阵，并且有111OO11TATTAT11OT22OT11OO1O.1OT22OBOTZhanglizhuo-2015O11OTBT22=diag{,,…,}，12n据数学归纳法原理，对任意正整数n，任一n阶实对称矩阵都正交相似于对角矩阵。【注】实对称矩阵A的特征多项式的全部根都属于R，并且A的每个特征值的几何重数等于它的代数重数。Zhanglizhuo-2015推论4n阶实对

19、称矩阵A有n个正交的单位特征向量。推论5实对称矩阵的每个n重特征值，必有n个线性iii无关的特征向量。推论6实对称矩阵的每个n重特征值，有iirank(E-A)=n-n。ii【注】实对称矩阵是矩阵可对角化的充分而非必要条件。Zhanglizhuo-2015设n阶实对称矩阵A的特征值重数为r(j=1,2,…,m),则jjr+…+r=n,1mrr11重特征值22重特征值rmm重特