2015线性代数课件-§2.3

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1、§2.3向量组的秩教学纲目一、向量组的极大线性无关组二、向量组的秩教学要求1理解和掌握向量组的极大线性无关组及相关定理；2理解和掌握向量组的秩及相关定理。1Zhanglizhuo-2015一、向量组的极大线性无关组定义1向量组的一个部分组称为极大线性无关组，如果该部分组本身是线性无关的，但是从这个向量组的其余向量(如果有的话)中任取一个向量添进去，得到的新的部分组都线性相关。Zhanglizhuo-2015【注】(1)依§2.2命题6，极大线性无关组还可如下理解：部分组本身是无关的，任取其余一向量都可由该部分组

2、线性表示。(2)依§2.2命题5，当用极大线性无关组表示向量时，其表示式唯一。Zhanglizhuo-2015101例如向量组123=,=,=线性相关，其中011与,与,与都是该向量组的极大线性无关121323组。【注】向量组的极大线性无关组可不唯一。Zhanglizhuo-2015定义2设向量组,,,的每一个向量都可以12m由,,,线性表示，则称向量组,,,可12s12m以由,,,线性表示。如果向量组,,,12s12

3、m与向量组,,,可以互相线性表示，则称向量组12s,,,与向量组,,,等价，记作12m12s{,,,}{,,,}。12m12sZhanglizhuo-2015向量组的等价关系具有下述三条性质：10反身性。即任何一个向量组都与其自身等价；20对称性。即如果{,,}{,,}，则1m1s{,,,}{,,,}。12s12m30传递性。即如果{,,}{,,}，且1m1s{,,,}{,,,}，则12s12t{,,

4、,}{,,,}。12m12t【注】因为线性表出具有传递性,所以等价也具有传递性。Zhanglizhuo-2015定理1向量组和它的极大线性无关组等价。【证】设向量组,,,,,，不妨设其一个1mm+1s极大无关组为,,，对任意i{1,2,…,s}，1m=0++0+1+0++0，i1i-1ii+1s,,,可由,,,,,线性表出。12m1mm+1s同理,,,可由,,线性表示。事实上，12s1m如果m

5、大线性无关组定义，,,,线性相关，又,,线性无关,依§2.21mj1m命题6，可由,,线性表示。j1mZhanglizhuo-2015如果m=s，结论显然成立。Zhanglizhuo-2015推论2向量组的任意两个极大线性无关组等价。【证】依定理1和等价的传递性立即可得。Zhanglizhuo-2015定理3设向量组,,,可由向量组,,线性12s1t表示，如果s>t，则向量组,,,线性相关。12s【证】若,,,仅含零向量，则由题设，,,12t1s也仅

6、含零向量，则,,,线性相关。12s若,,,含非零向量，不妨设其一个极大线性无关12t组为,…,，则rt，且1r{,,,}{,,,}12r12t故向量组,,,也可由,,,线性表示，12s12rZhanglizhuo-2015设=k++k，11111rr2=k211++k2rr，其中kij(i=1,…,s,j=1,…,r)………………为已知数，=k++k，ss11srr考虑齐次线性方程组l+l+…+l=O，即1122ssl1(k1

7、11++k1rr)1+l(k++k)222112rr+………………+s整理得+ls(ks11++ksrr)=O，(lk+lk+…+lk)+…+(lk+lk+…+lk)=O111221ss1111r22rssrrZhanglizhuo-2015因为,,,线性无关，于是有以l,l,…,l为未知12r12s元的齐次线性方程组k11l1ks1ls0，k12l1ks2ls0，klkl0，1r1srs因为rt

8、，从而l,l,…,l可不全为零，所以,,,线性相关。12s12s12Zhanglizhuo-2015推论4设向量组,,,可由向量组,,,12s12t线性表示，如果,,,线性无关，则12sst。推论5等价的线性无关向量组所含向量的数目相等。推论6向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的数目相等。Zhanglizhuo-2015二、向量组的秩定义3向量组