线性代数课件2.2_ 2.3

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1、定理3:设r维向量组ai=(ai1,ai2,L,air)(i=1,2,L,s)线性无关,则在每个向量上再添加n-r个分量所得到的n维向量组ai¢=(ai1,ai2,L,air,air+1,air+2,L,ain)(i=1,2,L,s)也线性无关.(r

2、长的相关,则短的也相关”.1PDFcreatedwithpdfwww.pdffactory.comFactorytrialversion定理4:若向量组中部分向量(称向量组的部分组)线性相关,则整个向量组也线性相关.证明:设向量组a1,a2,L,as中部分组a1,a2,L,ar(r

3、法易知)记忆口诀“部分相关,则整体相关”;“整体无关,则部分无关”.2PDFcreatedwithpdfwww.pdffactory.comFactorytrialversion定理5:向量组a1,a2,L,as(s³2)线性相关的充要条件是组中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示.证明:“”设a1,a2,L,as线性相关,则存在不全为零的数k,k,L,k,12s使得k1a1+k2a2+L+ksas=Okkk12s-1不妨设ks¹0,则有as=-a1-a2-L-as-1ksksks即as可由a1,a2,L,as-1线性表示.“”设as可由a1,a2,L,as-1线性表示,则存

4、在数l1,l2,L,ls-1,使得as=l1a1+l2a2+L+ls-1as-1,即l1a1+l2a2+L+ls-1as-1-1×as=Ol1,L,ls-1,-1不全为零,向量组a1,a2,L,as线性相关.推论:向量组a1,a2,L,as(s³2)线性无关的充要条件是向量组中每一个向量都不能由其余向量线性表示.3PDFcreatedwithpdfwww.pdffactory.comFactorytrialversion定理6:若向量组a1,a2,L,as线性无关,向量组a1,a2,L,as,b线性相关,则向量b可由向量组a1,a2,L,as线性表示,且表达式唯一.(证明略)例1

5、1：设a1=(1,1,3),a2=(2,4,5),a3=(1,-1,0),b=(2,2,5),(1)判断a1,a2,a3的线性关系;(2)b可否由a1,a2,a3线性表示?121解:(1)Q14-1=-8¹0,a1,a2,a3线性无关.350(2)由前知a1,a2,a3,b线性相关,且a1,a2,a3线性无关,由定理6得b可由a1,a2,a3线性表示,且表达式唯一.4PDFcreatedwithpdfwww.pdffactory.comFactorytrialversion设b=ka+ka+ka112233ìk1+2k2+k3=2æ1212öïç÷即ík1+4k2-k3=2A=ç

6、14-12÷¾¾®ïç÷î3k1+5k2=5çè3505÷øæ1212öæç1212ö÷æ1212öç÷ç÷ç02-20÷¾¾®ç01-10÷¾¾®ç01-10÷¾¾®ç÷ç÷ç÷ç0-1-3-1÷çè0-1-3-1÷øç00-4-1÷èøèøæç1212ö÷æ12074öæ10054öç÷ç÷ç01-10÷ç÷¾¾®ç01014÷ç÷¾¾®ç01014÷ç÷çç00114÷÷ç00114÷ç00114÷èøèøèøQr=n=3方程组有唯一解:ìk1=54511ïk=14从而得b=a1+a2+a3.í2444ïîk=1435PDFcreatedwithpdfwww.pdffact

7、ory.comFactorytrialversion思考：判断下列结论正确与否1.设向量组(Ⅰ)a1,a2,L,ar(Ⅱ)a1,a2,L,ar,ar+1,L,as①若(Ⅰ)线性相关,则(Ⅱ)线性相关;()②若(Ⅰ)线性无关,则(Ⅱ)线性无关;()③若(Ⅱ)线性无关,则(Ⅰ)线性无关;()④若(Ⅱ)线性相关,则(Ⅰ)线性相关.()2.向量组a1,a2,L,as(s³2)线性相关的充要条件是①a1,a2,L,as中至少有一个零向量;()②a1,a2,L,as中任一个向量都