中国药科大学 线性代数 2.3

《中国药科大学 线性代数 2.3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、第三节逆矩阵一、逆矩阵的概念定义对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B,使得AB=BA=E。则称矩阵A是可逆的，并把方阵B称为A的逆阵(inversematrix),记做A-1,即B=A-1。二、逆矩阵的初等性质性质1如果A是可逆的，则A的逆阵是唯一的。这是因为：设B、C都是A的逆阵，则有B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C，所以A的逆阵是唯一的。性质2当A可逆时,A-1也可逆,并且(A1)-1=A.性质3若A和B均为可逆矩阵,则(AB)也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1性质4当A可逆时,AT也可逆,并且(AT)1=(A1)T.性质5当A可逆

2、时,

3、A1

4、=

5、A

6、1=1/

7、A

8、.性质6若A可逆,数0,()-1=A-1/.三、矩阵的求法定理1若方阵A可逆，则

9、A

10、0。证明A可逆，即有A的逆矩阵A1，使得AA1=E。故

11、A

12、A1

13、=

14、A

15、

16、A1

17、=

18、E

19、=1，所以

20、A

21、0。定理2若

22、A

23、0，则方阵A可逆，且其中A*为方阵A的伴随阵:定义15如果n阶方阵A的行列式detA0，则称A为非奇异(nonsingular)矩阵（或称为非退化(nondegenerate)矩阵），否则称A是奇异矩阵（或称为退化矩阵）。由上面的两个定理可知：定理（可逆的充分必要条件）A是可逆矩阵的充分必

24、要条件是

25、A

26、0。即可逆方阵就是非奇异方阵。例1判定矩阵是否可逆。若可逆，求出其逆矩阵。解由于故A可逆.例2已知求A－1。解

27、A

28、＝ad－bc≠0，故A可逆。且易得例3设求矩阵X满足AXB=C。分析若A、B可逆，则用A1左乘上式，B1右乘AXB=C，有A1AXBB1=A1CB1，即X=A1CB1。例4例5解给方程两端左乘矩阵给方程两端右乘矩阵得给方程两端左乘矩阵得给方程两端右乘矩阵解例6解例7四、应用问题1.人口失业问题2.信息加密问题三、求逆矩阵的初等变换方法关于初等矩阵的逆矩阵，我们有如下结论：初等矩阵均为可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为同

29、类型的矩阵。其中根据初等矩阵的性质和可逆矩阵是满秩矩阵，我们可以得到可逆矩阵的初等分解定理：定理4设A为可逆矩阵，则存在有限个初等矩阵P1，P2，…，Ps，使A=P1P2…Ps证因A为可逆矩阵，A～E，故E经过有限次初等变换可变成A，也就是存在有限个初等矩阵P1，P2，…，Ps，使P1P2…PtEPt+1Pt+2…Ps=A，（1≤t≤s）即A=P1P2…Ps。显然，若存在s个初等矩阵P1，P2，…，Ps，使A=P1P2…Ps，则因为初等矩阵都是可逆矩阵，所以

30、A

31、=

32、P1

33、·

34、P2

35、·…·

36、Ps

37、0，故A可逆。从而，结合上述定理我们得到：方阵A可逆的充分

38、必要条件是存在s个初等矩阵P1，P2，…，Ps，使A=P1P2…Ps。推论1mn矩阵A～B的充分必要条件是：存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B。推论2设A是mn阶矩阵，R（A）=r，则存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使设A为n阶可逆矩阵，则A1也是n阶可逆矩阵。因此由定理6，A1可以表示为有限个初等矩阵的乘积，即存在n阶初等矩阵P1，P2，…，Ps，使A1=P1P2…Ps上式也可写成（*）A1=P1P2…PsE将此式的两边同时右乘A，得到A1A=P1P2…PsA即（**）E=P1P2…PsA比较（*）式和（**）式可以看出：

39、当对矩阵A进行有限次初等行变换，将A化成单位矩阵E时，对单位矩阵E进行相同的初等行变换，就可以将E化成A1。于是，我们可以采用下列方式求A1：将A和E并排放在一起，组成一个n2n矩阵（A，E），对（A，E）作一系列初等行变换，将其左半部分化成单位矩阵E，这时其右半部分就是A1。即例：求A1，其中完全类似我们可以用初等列变换来求矩阵A的逆矩阵。即实际上我们还可以用初等变换方法求解一般的矩阵方程AX＝B或XH＝G，即求X＝A－1B或X＝GH－1。此时可按如下方法进行：例：求解矩阵方程AX=A+2X，其中解：由AX=A+2X可得（A2E）X=A因为所

40、以线性方程组与矩阵方程的关系方程组其实就是矩阵方程AX=B,其中A为上述方程组的系数矩阵，X为由n个未知数组成的列矩阵，而B为上述方程组右边的数组成的列矩阵。这由矩阵的乘法定义易直接验证。因此上述方程组可用初等变换来求解上述过程实际上就是我们非常熟悉的Gauss消元法。这也是初等行变换的来源。