线性多步法课件.ppt

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1、求解初值问题的数值方法都是“步进式”的，即求解过程从初值y0开始，顺着节点的排列次序，一步一步地向前推进．所以，在计算yi+1时，前面的i+1个值y0,y1,,yi都是已知的．如果在计算yi+1时能充分利用这些已有的信息，而不是像单步法中那样，只用其前一步的值yi，则可望构造出精度高，但计算量小的求解公式．线性多步法就是基于这一思想发展起来的，其计算公式可表示为其中.一、Adams外插法线性多步法的实质是用若干节点处的函数值及导数值的线性组合来逼近y(xi+1)的值．由于在计算yi+1时需要用到其前k+1

2、个值：yi,yi−1,yi−2,,yi−k，故多步法又称为k+1步法当−1=0时，此k+1步法是显式的当−10时，此k+1步法是隐式的原则上，一切多步法都可用Taylor级数展开的方法来导出(即确定其中的系数j,j)，但有些多步法也可用数值积分法来构造．下面讨论实际中较为常用的几种线性多步法(1)公式的推导对方程y’=f(x,y)的两边从xi到xi+1积分，得为了近似计算式中的积分，以xi−k,xi−k+1,,xi−1,xi为插值节点，作函数f(x,y(x))的k次插值多项式pk(x)，从而有

3、f(x,y(x))=pk(x)+R(x),其中，R(x)为插值余项一、Adams外插法外插公式略去积分余项R(x)dx，并用yi代替y(xi)，可得到计算公式注意，这里的与pk(x)不同，它是将插值多项式pk(x)中用到的函数值f(xi,y(xi))均以近似值fi=f(xi,yi)代替后所得到的表达式.由于积分是在区间[xi,xi+1]上进行的，而的插值区间却为[xi−k,xi]，即插值点x[xi,xi+1]，位于插值区间之外，故称(53)式为外插公式考虑到插值点x靠近区间[xi−k,xi]的最后一个节点

4、xi，采用Newton向后插值公式，于是有其中，而▽为向后差分算子,即所以称为Adams外插公式(亦有称Adams-Bashforth公式)．不难看出，这是一类k+1步显式方法.容易计算出bjj012345bj11/25/123/825/72095/288(2)Adams外插公式的局部截断误差注意到，若假定yi−j=y(xi−j),j=0,1,,k精确成立，则有．因此，Adams外插公式的局部截断误差为其中Adams外插公式是一类k+1步k+1阶的显式方法.几个常用的Adams外插公式如下①单步法(k=0

5、)②二步法(k=1)③三步法(k=2)④四步法(k=3)现在以k+2个节点x−k,xi−k+1,,xi,xi+1作为插值节点,作函数f(x,y(x))的k+1次插值多项式pk+1(x)，从而有其中R(x)为插值余项去掉上式中的积分余项，得二、Adams内插法(1)公式的推导同样，采用Newton向后插值公式，并重复Adams外插公式的推导过程，可得其中dj的前几个值j012345dj1-1/2-1/12-1/24-19/720-3/160由于插值点x现在是落在积分区间[xi,xi+1]之内，所以称为Ada

6、ms内插公式(Adams-Moutton公式)．这是一类k+1步隐式方法(2)局部截断误差其中而i是介于xi−k与xi+1之间的某个值.所以,Adams内插公式是一类k+1步k+2阶的隐式方法.几个常用的Adams内插值公式①单步法(k=0)②二步法(k=1)③三步法(k=2)优点步数相同的Adams内插公式比外插公式在精度上要高一阶，而阶数相同的内插公式的截断误差也比外插值公式的截断误差小许多缺点内插法是隐式的，求解用迭代法，因而计算量较大对初值问题分别用四步四阶Adams外插法和三步四阶Adams内插

7、法求解取步长h=0.1，即N=10例1解将f(x,y)=2x+y,h=0.1,xi=0.1i代入，得四步四阶Adams外插法的公式为三步四阶Adams内插法的公式为将f(x,y)=2x+y,h=0.1,xi=0.1i代入，得本例可以解出yi+1使其成为显式本例的精确解为y(x)=3ex−2x−2.利用此精确解求出y1=y(x1),y2=y(x2),y3=y(x3)，并用y0,y1,y2,y3作为上述外插公式的起步值，计算结果见表从表可以看到，Adams内插法比同阶的外插法精确.三、Taylor级数法