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1、线性多步法2011.10.25liukean13线性多步法3-1线性多步法的一般形式对于方程y’=f(x,y)x∈[a,b]y(a)=y0(1)等分分划[a,b],h=(b-a)/n,xi=a+ih,i=1,…,n想法：由于y’=f(x,y)形式已知，故可以构造yk+1=a0yk+a1yk-1+…+apyk-p+h(b-1y’k+1+b0y’k+b1y’k-1+…+bpy’k-p)(2)来逼近y(xk+1)2说明：1）ap,bp不同时为零；2）b-1=0,（2）式称为显格式；b-1≠0,存在hb-1y’k+1=hb-1f(xk+1,
2、yk+1)项，称为隐格式；3）（2）式是已知y0,…,yp,1+p个点的解值，外推点yk+1的值，外推过程；4）实际上，（2）式是用p+1阶差分方程逼近微分方程（1）；差分方程的理论一点也不比微分方程容易，但是，有了初始值，可以递推计算。33-2误差与精度定义1代数精度(用试验多项式定义的)定义2设yk=y(xk)是（1）的解，代入（2），称Tk+1=y(xk+1)-yk+1=y(xk+1)–[a0yk+a1yk-1+…+apyk-p+h(b-1y’k+1+b0y’k+b1y’k-1+…+bpy’k-p)]为（2）式从xk到xk+1
3、一步的局部误差。k=p，p+1，…，n（3）4欲使Tk+1最小，将y(xk-i)，y’(xk-i)，i=-1,0，…，p在xk处作Taylor展开5代入（3）式，按h的幂次合并同类项、整理后得到6代入（3）式，按h的幂次合并同类项、整理后得到Tk+1=c0y(xk)+c1hy’(xk)+c2h2y’’(xk)+…+cqhqy（q）(xk)+…其中（5）（4）(2)式的精度取决于ci是否为零！7若c0=c1=…=cr=0，cr+1≠0则Tk+1=cr+1hr+1y(r+1)(xk)+cr+2hr+2y(r+2)(xk)+…可见y(x)
4、∈Pr[x]时，Tk+1≡0，而当y(x)=xr+1时，Tk+1=cr+1hr+1(r+1)！≠0即（2）式具有r阶代数精度,具有r阶计算精度。对于低于r次的多项式而言，当然有误差阶主部主部系数08定义3称c0=c1=0，的线性多步法（2）式是相容的。综上：1）线性多步法的构造，无外乎是在（6）成立的情况下，构造精度更高的算法，即确定ai，bi问题。2）后面的任务：①在精度确定的条件下，去确定ai，bi，由（5）式知道问题变成了线性方程组求根问题。②算法给出后，要讨论其：误差估计、收敛性、稳定性。（6）93-3线性多步法的构造方法3
5、-3-1Taylor公式方法令c0=c1=…=cr=0，由（5）得到关于ai，bi的2p+3个待定参数的线性方程组（r+1个方程）。可见r=2p+2时，（7）式解存在、唯一。得到p+1步方法。（7）10实践中，一般取r<2p+2，即在（7）式中，保留一些自由参数，适当选取这些参数，可以使得差分方程减少计算复杂性、收敛快、误差小、稳定性好等特征的方法。11例题[6-2]P=0yk+1=a0yk+h(b-1y’k+1+b0y’k)r=2p+2=2c0=0=>a0=1a0=1c1=0=>b-1+b0=1b-1=1/2c2=0=>2b-1=
6、1b0=1/2得到yk+1=yk+(h/2)(f(xk+1,yk+1)+f(xk,yk))梯形隐格式，p+1单步法、隐格式，r=2阶。c3=-1/1212例题[6-3]P=1yk+1=a0yk+a1yk-1+h(b-1y’k+1+b0y’k+b1y’k-1)确定a1为自由参数。令c0=c1=c2=c3=0得到线性代数方程组1-(a0+a1)=0a0=1-a11+a1-(b-1+b0+b1)=0b-1=(5-a1)/121-a1-2(b-1-b1)=0b0=2(1+a1)/31+a1-3(b-1+b1)=0b1=(5a1-1)/12=
7、>c4=(a1-1)/24c5=-(1+a1)/180取a1=1,c5=-1/190,得到4阶Simpson方法yk+1=yk-1+(y’k+1+4y’k+y’k-1)h/313类似地,可以得到Milne格式yk+1=yk-3+(2y’k+y’k-1+2y’k-2)4h/3Tk=h5y(5)(xk)14/45+…显式Hamming方法yk+1=(9yk-yk-2)/8+(y’k+1+2y’k-y’k-1)3h/8Tk=-h5y(5)(xk)/40+…隐式都是4阶精度，但是误差常数不同，隐格式小于显式格式。预估-校正法:显,隐式交替使
8、用技术y^k+1=yk-3+(2y’k+y’k-1+2y’k-2)4h/3yk+1=(9yk-yk-2)/8+(f(xk+1,y^k+1)+2y’k-y’k-1)3h/8143-4线性多步法的收敛性定义4线性多步法(2)式的初值yk=
