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1、7刚性问题化学反应、自动控制、电力系统等领域经常遇到一类病态方程组称为刚性方程组或者Stiff方程组。例如y’1=-0.01y1-99.99y2y’2=-100y2y1(0)=2,y2(0)=1其解为y1=e-0.01x+e-100x,y1=e-100x由于e-0.01x变化很慢，当x≤391时，y1≥y1(0)/100，即y1变化不到1%。(7-1)7/25/2021阜师院数科院如果用经典的Runge-Kutta方法求解，该方法的稳定区间是(-2.78，0)所以由第二个方程看到，步长h应该满足100h<2.78h<0.0278这样，在求解区间（0，391）上必须
2、计算14065步，计算量很大。7/25/2021阜师院数科院对于一般问题y’=Ay+b(x)y(x0)=y0其中A是m阶方阵。如果系数矩阵A的特征值λi具有如下特征Reλi<0max
3、Reλi
4、/min
5、Reλi
6、是很大的数，则称之为刚性方程组。(7-2)7/25/2021阜师院数科院非线性方程组y’=f(x,y)y(x0)=y0也存在同样的问题，只是λi表示矩阵(7-3)7/25/2021阜师院数科院的第i个特征值，比值max
7、Reλi
8、/min
9、Reλi
10、称为刚性比，也称Stiff比。方程（1）的刚性比是100/0.01=100007/25/2021阜师院数科
11、院这类问题解的特点是开始阶段变化很剧烈，之后进入稳定阶段。从数值方法的角度，开始阶段自然应该应用精度高的Runge-Kutta方法，但是进入稳定阶段从数值稳定性角度，步长仍然有限制。解决问题方法：寻找稳定的差分格式！例如隐格式。7/25/2021阜师院数科院预估校正法预估校正其中对于常系数线性方程组（7-2）上式可以简化为(7-4)(7-5)7/25/2021阜师院数科院例如：求下列方程组的数值解y’1=0.04(1-y1)-(1-y2)y1+0.0001(1-y2)2y’2=-104y’1+3000(1-y2)2y1(0)=0,y2(0)=1,0≤x≤100如果
12、用经典Runge-Kutta方法计算，必须h≤0.0005,若用h=0.001，计算结果发散。若取h=0.00025，需要4×105步。如果在[0,0.1]区间，用h=0.00025经典Runge-Kutta方法计算，在区间[0.1,100]用h=0.2的差分格式(7-5)，则整个计算只需要9×102步。7/25/2021阜师院数科院8二阶边界值问题常微分方程二阶边界值问题一般可写成y’’=f(x,y,y’)x∈(a,b)(8-1)并且结合下列三种边界条件之一y(a)=A,y(b)=B(8-2)y’(a)=A,y’(b)=B(8-3)y’(a)-A0y(a)=A1
13、,y’(b)+B0y(b)=B1(8-4)(8-4)中A0≥0，A0+B0>0,它们分别称为第一、二、三边界问题。7/25/2021阜师院数科院8-1打靶法考虑第一边界问题y’’=f(x,y,y’)x∈(a,b)(8-1)y(a)=A,y(b)=B(8-2)通常采取逐次逼近的方法，基本过程如下：取初值问题y’’=f(x,y,y’)x∈(a,b)y(a)=A,y’(a)=tk(8-3)其中tk是一个数列，假设解是y(x,tk)，而且要求y(x,tk)→y(b)=B(k→∞)。这时所得的解y(x)就是问题的解。如图7/25/2021阜师院数科院问题归结成非线性方程求根
14、问题：y(x,t)–B=0通常可以采取二分法、插值法、牛顿法。并且把这些方法称为打靶法。y’(a)=tk称为试射速度。abxyBy(x,t2)y(x,t1)y(x,t3)y(x,tk)7/25/2021阜师院数科院9有限差分方法有限差分方法的中心思想是:分化区间[a,b]，例如h=(b-a)/n,xk=a+kh,k=0,1,…,n用差商逼近导数，离散方程和边界条件，建立关于解函数在离散点处函数值的代数方程组进行求解。例如y’’=f(x,y,y’)x∈(a,b)(8-1)y(a)=A,y(b)=B(8-2)用差商代替微商离散化7/25/2021阜师院数科院略去高阶无
15、穷小，得到相应的非线性方程组7/25/2021阜师院数科院
