数值分析矩阵特征值特征向量计算.ppt

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1、1第八章矩阵特征值计算数值分析——幂法与反幂法2本章内容特征值基本性质幂法与反幂法正交变换与矩阵分解QR方法3本讲内容特征值基本性质幂法幂法的加速反幂法4特征值性质Ax=x(C,x0)性质(1)特征值与特征向量(2)(3)(4)若A对称，则存在正交矩阵Q，使得5圆盘定理定理：(Gerschgorin圆盘定理)设是A的特征值，则i=1,2,...,n设A=(aij)Rnn，记Gerschgorin圆盘若有m个圆盘互相连通，且与其它圆盘都不相连，则这m个圆盘内恰好包含m个特征值。6Rayleigh商定理：设A是n阶实对称矩阵，其特征值为则对任意非零向量x，有且称为矩阵A关于x的Ray

2、leigh商。7(1)任取一个非零向量v0，要求满足(x1,v0)0(2)对k=1,2,...，直到收敛，计算幂法计算矩阵的主特征值（按模最大）及其特征向量假设：(1)

3、1

4、>

5、2

6、…

7、n

8、0(2)对应的n个线性无关特征向量为：x1,x2,...,xn计算过程：幂法（乘幂法，幂迭代）8幂法的收敛性收敛性分析设越小，收敛越快9幂法的收敛性当k充分大时，有又(j=1,2,...,n)vk为1的近似特征向量10幂法的收敛性定理：设A有n个线性无关的特征向量，其特征值满足则由幂法生成的向量满足注：幂法的收敛速度取决于的大小11幂法改进方法：规范化幂法中存在的问题12幂法1的计算13改

9、进的幂法定理：设A有n个线性无关的特征向量，其特征值满足则由改进的幂法生成的向量满足(1)任取一个非零向量v0，要求满足(x1,v0)0(2)对k=1,2,...，直到收敛，计算改进的幂法14举例例：用改进的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量15幂法的加速幂法的收敛速度取决于的大小当r接近于1时，乘幂法收敛会很慢！幂法的加速：原点平移法令B=A–pI，则B的特征值为：i-p选择适当的p满足：(1)(j=2,...,n)(2)用幂法计算矩阵B的主特征值：1-p保持主特征值加快收敛速度带位移的幂法16举例例：用带位移的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量，取p=0.7517反幂

10、法计算矩阵的按模最小的特征值及其特征向量假设：(1)

11、1

12、

13、2

14、…

15、n-1

16、>

17、n

18、>0反幂法(2)对应的n个线性无关特征向量为：x1,x2,...,xnA-1的特征值为：对应的特征向量仍然为x1,x2,...,xn反幂法：对矩阵A-1使用幂法18反幂法定理：设A有n个线性无关的特征向量，其特征值满足则由反幂法生成的向量满足(1)任取一个非零向量v0，要求满足(x1,v0)0(2)对k=1,2,...，直到收敛，计算反幂法19反幂法的加速反幂法的收敛速度取决于的大小当r接近于1时，反乘幂法收敛会很慢！可以使用原点平移法对反幂法进行加速问题：如何选择参数p？离n越近越好（但不能

19、相等）20幂法的Rayleigh商加速定理设A是n阶实对称矩阵，其特征值为对应的特征向量x1,x2,...,xn满足：，使用改进的乘幂法计算A的按模最大特征值1时，uk的Rayleigh商给出了1的较好的近似，即证：21Rayleigh商加速Rayleigh商加速(1)任取一个非零向量v0，要求满足(x1,v0)0(2)对k=1,2,...，直到收敛，计算22几点注记带位移的反幂法中需要计算带位移的反幂法可以用于计算任何一个特征值k将参数p取为k附近若已知特征值，计算特征向量时，可使用带位移的反幂法令p足够靠近k