6_数值分析特征值q

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1、3.2Jacobi方法雅可比方法是用于计算实对称矩阵的全部特征值及对应的特征向量的一种变换方法。最早由Jacobi给出，电子计算机出现以后，古代的Jacobi方法已有了不少的改进和推广。Jacobi方法的基本思想：Jacobi方法是通过一组平面旋转变换（正交相似变换）化对称矩阵A为对角矩阵，进而求出A的特征值与特征向量。由代数知道，若A为实对称矩阵，则一定存在正交矩阵U，使UTAU=D。其中，D是对角阵，其主对角线元素i是A的特征值。正交阵U的第j列是A的对应于特征值i的特征向量。于是求实对称矩阵A的特征值问题等于寻找正交矩阵U，使UTAU=D为

2、对角阵，而这个问题的主要困难是如何构造U。首先考虑二阶对称矩阵能否寻求一个正交矩阵P使A经过正交相似变换化为对角阵？考虑平面上的旋转变换其中P为平面旋转矩阵，计算：故可选择角θ，使下面将这一想法推广，首先引进Rn中的平面旋转变换。定义:对于p≠q,下面的矩阵Upq称为平面旋转矩阵。定义:变换y=Upqx称为Rn中{xp，xq}平面内的一个平面旋转变换.平面旋转矩阵的性质：(1)Upq为正交矩阵，即UpqT·Upq=E.(2)UTAU=B还为实对称，且B与A有相同的特征值.(3)‖B‖F=‖A‖F.证明：对于n维列向量x，Upqx相当于把坐标轴Oxp和

3、Oxq于所在平面内旋转角度。记矩阵A=[aij]n×n，对A作一次正交相似变换，得到矩阵A1。记A1=UpqTAUpq=[aij(1)]n×n(3.12)A1仍然是实对称阵，且A1与A的特征值相同。把式(3.12)的右端乘开，并与左端比较，得到A1的元素计算公式：由此见到，矩阵A1的第p行、列与第q行、列中的元素发生了变化，其它行列中的元素不变。只需按上述公式计算A1的第p列、第q列元素即可，然后取对称元素。特别，令则可以得到Jacobi算法(1)在A的非主对角线元素中，找到按模最大元素apq.(2)用式(3.14)计算tan2，及旋转矩阵Up

4、q.(3)用公式(3.13)求A1.(4)若，停止计算.否则,令A=A1,重复执行(1)~(4).Jacobi算法所以，矩阵A的特征值i≈aii(N),i=1,2,…,n.矩阵U的第i列就是A的属于特征值i≈aii(N)的近似特征向量，并且所有的特征向量都是正交规范化的。定理3.1设A是实对称阵，由J-方法，第k次得到的矩阵，又记则有非对角线元素的平方和Jacobi方法的收敛性证明：经过一次正交相似变换，A1=UpqTAUpq=[aij(1)]n×n与Ａ的元素满足下列关系：若选择φ,使那么，经过一次这样的旋转变换后，A（1）的非对角线元素的平方

5、和减少2apq2了，而对角线元素的平方和增加了2apq2.（7）若apq是A的按模最大的非对角元素，则表明非对角线元素的平方和不超过原来的倍，这就是选择平面旋转变换Upq的道理。经过k次迭代得到的矩阵记为Ak=[aij（k）]n×n，则有即矩阵序列{Ak}的非对角线元素的平方和趋于零。旋转矩阵Upq的计算的计算公式：Jacobi算法的优缺点：Jacobi算法又称为经典的Jacobi算法，它每次迭代都是把按模最大的非主对角线元素作为消灭对象。不论实对称矩阵A的特征值如何分布，经典的Jacobi算法总是收敛的，而且当A的阶数不太高时，收敛速度还比较快。

6、此外，这个方法具有较强的数值稳定性，求得的结果精度一般都比较高，特别是求得的特征向量正交性很好，这是其它方法所不如的。经典的Jacobi算法的缺点是，不能有效地利用矩阵的各种特殊形状（例如带状或稀疏等）以节省工作量。这是因为它的迭代过程中一般都会破坏原矩阵的特殊形状。例试用Jacobi方法计算矩阵的全部特征值和相应的特征向量.（误差为ε=10-5）